Límites y asíntotas en la PAU de Madrid: ejercicios resueltos

Obtención de la primitiva · 0,75

Al integrar por partes es habitual tomar v = −cos(πx/2), como si la primitiva de sen(kx) fuera −cos(kx) sin más. Al integrar, la constante del argumento divide: v = −(2/π)·cos(πx/2), y lo mismo ocurre en la segunda integral. Si olvidas el factor en v, la integral sale 2/π ≈ 0,64 en vez de 4/π² ≈ 0,405. Deriva tu v antes de seguir: tiene que devolverte sen(πx/2).

Obtención del sistema · 0,6

Imponer la continuidad solo en x = 2 (o solo en x = 5): con una sola ecuación no puedes hallar dos incógnitas, y el sistema vale 0,6 puntos. Hay dos puntos de unión y en cada uno el límite por la izquierda, el valor de f y el límite por la derecha tienen que coincidir. Fíjate también en qué trozo contiene cada punto: f(2) sale de 2x + 2 y f(5), de −(x − 5)² + 15.

Límite lím_(x→−∞) f(x)/x · 0,5

Sacar x de la raíz como si fuera positivo. Cuando x → −∞, x es negativo y √(x²) = |x| = −x, no x. Si se olvida el signo, el primer límite sale 1 en lugar de −1, y en el segundo el denominador del conjugado parece tender a 0. Antes de sacar nada de una raíz, mira el signo de x: un cociente entre algo positivo y algo negativo no puede tender a 1.