PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria · incidencias

Pregunta 5.1: asíntotas de una función racional con parámetro

Tema · Límites y asíntotas
Opcional · 5.1 o 5.2
Solución verificada

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a)a = 6, pues 3·2 − a = 0; asíntotas: solo x = 2 vertical, no hay asíntotas horizontales y la oblicua es y = x/3 + 2/3.
b)a = 3 o a = −3: el numerador también se anula en x = a/3 y el factor se simplifica.

Pregunta 5.1

PAU Madrid 2026 · Extraordinaria · incidenciasAnálisis2 puntos

Sea la función f(x) = (x² − 1)/(3x − a), donde a es un parámetro real.

a)Halle el valor de a para que la gráfica de f(x) presente una asíntota vertical en x = 2. Para dicho valor, estudie el resto de asíntotas de la gráfica. (1 p)
b)Obtenga los valores de a para los cuales la gráfica de la función no presenta asíntotas verticales. (1 p)

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos.

Los criterios, a escala2puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Planteamiento para la obtención de a0,3
02a) Obtención de a0,2
03a) Justificación de que solo puede haber otra asíntota y esta es oblicua0,1
04a) Obtención de la pendiente de la asíntota oblicua0,2
05a) Obtención de la ordenada en el origen de la asíntota oblicua0,2
06b) Justificación0,4
07b) Obtención de algún valor de a0,4
08b) Obtención del otro valor de a0,2

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · En a), ¿dónde puede haber asíntota vertical?

En a), una función racional solo puede tener asíntota vertical donde se anula el denominador; comprueba que el numerador no se anula ahí. Después compara los grados del numerador y del denominador.

Pista 2 · En b), ¿cuándo deja de haber asíntota?

En b), pregúntate qué ocurre con el límite si el numerador y el denominador se anulan en el mismo punto.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Plantea dónde puede haber asíntota verticalTribunal: planteamiento para la obtención de a0,3
f es un cociente de polinomios, así que solo puede tener asíntota vertical donde se anula el denominador. Para que x = 2 lo sea, 3·2 − a tiene que valer 0, y además el numerador no puede anularse en x = 2, para que el límite sea infinito y no un número.
$3 \cdot 2 - a = 0$
Tribunal
Planteamiento para la obtención de a: 0,3 puntos.
0,3de 2
02a · Halla a y comprueba la asíntotaTribunal: obtención de a0,2
De 6 − a = 0 sale a = 6, y la función queda f(x) = (x² − 1)/(3x − 6). En x = 2 el numerador vale 2² − 1 = 3 ≠ 0, así que los límites laterales son infinitos: −∞ por la izquierda y +∞ por la derecha. x = 2 es asíntota vertical.
$\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 1}{3 x - 6} = - \infty, \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 1}{3 x - 6} = + \infty$
Tribunal
Obtención de a: 0,2 puntos.
0,2de 2
03a · Justifica que la otra asíntota es oblicuaTribunal: justificación de que solo puede haber otra asíntota y esta es oblicua0,1
El denominador solo se anula en x = 2, así que no hay más asíntotas verticales. El numerador tiene grado 2 y el denominador grado 1: f(x) tiende a ±∞ cuando x → ±∞, así que no hay asíntotas horizontales. Al superar el grado del numerador en uno al del denominador, hay una asíntota oblicua y = mx + n, la misma en +∞ y en −∞.
Tribunal
Justificación de que solo puede haber otra asíntota y esta es oblicua: 0,1 puntos.
0,1de 2
04a · Calcula la pendiente de la oblicuaTribunal: obtención de la pendiente de la asíntota oblicua0,2
La pendiente es el límite de f(x)/x en el infinito. Quedan dos polinomios de grado 2, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales: m = 1/3.
$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 1}{3 x^{2} - 6 x} = \frac{1}{3}$
Tribunal
Obtención de la pendiente de la asíntota oblicua: 0,2 puntos.
0,2de 2
05a · Calcula la ordenada en el origenTribunal: obtención de la ordenada en el origen de la asíntota oblicua0,2
La ordenada es el límite de f(x) − x/3 en el infinito. Al restar con denominador común, los términos en x² se cancelan y queda (2x − 1)/(3x − 6), que tiende a 2/3. La asíntota oblicua es y = x/3 + 2/3. Compruébalo con la división: (x² − 1) entre (3x − 6) da cociente x/3 + 2/3 y resto 3.
$n = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2} - 1}{3 x - 6} - \frac{x}{3}) = \lim_{x \to \infty} \frac{2 x - 1}{3 x - 6} = \frac{2}{3}$
Tribunal
Obtención de la ordenada del origen: 0,2 puntos.
0,2de 2
06b · Justifica cuándo no hay asíntota verticalTribunal: justificación0,4
Para cualquier a, el denominador 3x − a se anula en x = a/3, el único candidato a asíntota vertical. Si el numerador no se anula ahí, el límite es infinito y hay asíntota. Si también se anula, x − a/3 es factor común del numerador y del denominador, se simplifica y el límite es finito: no hay asíntota. Así que la condición es (a/3)² − 1 = 0.
${(\frac{a}{3})}^{2} - 1 = 0$
Tribunal
Justificación: 0,4 puntos.
0,4de 2
07b · Halla los dos valores de aTribunal: obtención de algún valor de a · obtención del otro valor de a0,6
De a²/9 = 1 sale a² = 9, es decir, a = 3 o a = −3. Compruébalo: con a = 3, f(x) = (x − 1)(x + 1)/(3(x − 1)) = (x + 1)/3 si x ≠ 1, y el límite en x = 1 es 2/3; con a = −3, f(x) = (x − 1)/3 si x ≠ −1, y el límite en x = −1 es −2/3. En los dos casos hay una discontinuidad evitable, no una asíntota.
$a = 3 : \frac{(x - 1) (x + 1)}{3 (x - 1)} = \frac{x + 1}{3}, a = - 3 : \frac{(x - 1) (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{x - 1}{3}$
Tribunal
Obtención de algún valor de a: 0,4 puntos. Obtención del otro valor de a: 0,2 puntos.
0,6de 2

Error típico

Creer que todo cero del denominador es una asíntota

Lo que se suele escribir: ~~a = 3: lím x→1 f(x) = ∞~~. Lo correcto: a = 3: lím x→1 f(x) = 2/3

En b) se suele contestar que no hay ningún valor, porque el denominador 3x − a siempre se anula en x = a/3. Anular el denominador no basta: si el numerador también se anula ahí, el factor se simplifica y el límite es un número, no infinito. Sin esa idea se pierde la justificación y, con ella, los dos valores. Antes de afirmar que hay asíntota vertical, calcula el límite.

Cuesta los puntos de «justificación»: 0,4 puntos de 2.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. En la pregunta 5 eliges una de dos opciones: la 5.1 o la 5.2.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.