PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria · incidencias
Pregunta 2: potencia de una instalación fotovoltaica: monotonía y energía diaria
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- a)La potencia aumenta en (8, 16), disminuye en (16, 20) y tiene su máximo a las 16 h (6 kW), donde P′ pasa de positiva a negativa.
- b)E = 36 + 24/π ≈ 43,64 kWh: es la integral de P(t) entre 8 y 20, con primitiva 3t − (24/π)·cos(π(t − 12)/8).
Pregunta 2
La potencia instantánea en el momento t, P(t), es la derivada de la energía producida hasta el momento t. Una instalación fotovoltaica doméstica en un día despejado genera una potencia en kilowatios (kW) que se modeliza por la siguiente función con respecto a la hora del día t ∈ [0, 24): P(t) = 0 si 0 ≤ t < 8; P(t) = 3 + 3 sen((π/8)(t − 12)) si 8 ≤ t ≤ 20; P(t) = 0 si 20 < t < 24.
- a)Determine cuándo esa potencia aumenta y cuándo disminuye. ¿Cuál es el momento del día en que la instalación entrega su potencia máxima? (1 p)
- b)Halle la energía producida a lo largo del día en kilowatios hora (kWh). (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la potencia0,5
- 02a) Momento del día de potencia máxima0,5
- 03b) Planteamiento de la integral de la energía0,2
- 04b) Primitiva correcta0,3
- 05b) Aplicación de la regla de Barrow0,3
- 06b) Respuesta correcta0,2
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿De qué depende el signo de P′(t)?
Para la monotonía, deriva el tramo central y mira en qué intervalo se mueve el argumento del coseno cuando t va de 8 a 20: de ahí sale el signo de P′.
Pista 2 · ¿Qué relación hay entre energía y potencia?
La potencia es la derivada de la energía, así que la energía del día es una integral de P(t); antes de integrar, piensa qué aportan los tramos en que P vale 0.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Estudia el signo de P′(t)Tribunal: intervalos de crecimiento y decrecimiento de la potencia0,5
En el tramo central deriva con la regla de la cadena: P′(t) = (3π/8)·cos(π(t − 12)/8). Cuando t va de 8 a 20, el argumento π(t − 12)/8 va de −π/2 a π. El coseno es positivo entre −π/2 y π/2, es decir, para t ∈ (8, 16), y negativo entre π/2 y π, para t ∈ (16, 20). Por tanto, la potencia aumenta en (8, 16) y disminuye en (16, 20); en [0, 8) y (20, 24) vale 0 y no aumenta ni disminuye.
02a · Localiza el momento de potencia máximaTribunal: momento del día de potencia máxima0,5
En t = 16 el argumento vale π/2, P′ se anula y pasa de positiva a negativa: hay un máximo, con P(16) = 3 + 3·sen(π/2) = 6 kW. Es el máximo absoluto del día, porque el seno nunca supera 1 (en el tramo central P ≤ 6) y fuera de él la potencia es 0. Fíjate en que a las 12 h la potencia es solo P(12) = 3 kW.
03b · Plantea la integral de la energíaTribunal: planteamiento de la integral de la energía0,2
Como la potencia es la derivada de la energía, la energía del día es la integral de P(t) entre 0 y 24. En [0, 8) y (20, 24) la potencia es 0 y no aporta nada, así que basta integrar el tramo central entre 8 y 20. Con t en horas y P en kW, el resultado sale en kWh.
04b · Halla una primitivaTribunal: primitiva correcta0,3
La primitiva de 3 es 3t. Para el seno, el argumento lleva el factor π/8 delante de t, así que hay que dividir por él: una primitiva de 3·sen(π(t − 12)/8) es −(24/π)·cos(π(t − 12)/8). Compruébalo derivando: −(24/π)·(−sen(π(t − 12)/8))·(π/8) = 3·sen(π(t − 12)/8).
05b · Aplica la regla de BarrowTribunal: aplicación de la regla de Barrow0,3
Evalúa la primitiva en los extremos. En t = 20 el argumento es π y cos π = −1, así que F(20) = 60 + 24/π. En t = 8 el argumento es −π/2 y cos(−π/2) = 0, así que F(8) = 24. Resta: E = F(20) − F(8) = 36 + 24/π.
06b · Da la energía con sus unidadesTribunal: respuesta correcta0,2
La instalación produce E = 36 + 24/π ≈ 43,64 kWh a lo largo del día. Es razonable: 36 kWh vienen del término constante (3 kW durante 12 h) y 24/π ≈ 7,64 kWh del seno, que es positivo porque su argumento recorre de −π/2 a π y pasa más tiempo por encima de 0 que por debajo. La potencia media en esas 12 h, unos 3,64 kW, queda entre 0 y el máximo de 6 kW.
Error típico
Situar el máximo a las 12 h por el «t − 12»
Lo que se suele escribir: potencia máxima en t = 12. Lo correcto: potencia máxima en t = 16
Es fácil dar el máximo a las 12 h, porque el seno está «centrado» en t − 12 o porque se piensa en el mediodía solar. Pero a las 12 h el seno vale 0 y la potencia es solo 3 kW; el seno vale 1, su máximo, cuando el argumento es π/2, es decir, a las 16 h. Saca el máximo del cambio de signo de P′, no de la forma de la fórmula: un error aquí arrastra también los intervalos de crecimiento.
Cuesta los puntos de «momento del día de potencia máxima»: 0,5 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.