PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria · incidencias

Pregunta 1: virus estomacal: teorema de Bayes y binomial con dos personas

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a)P(V | S) = 95/107 ≈ 0,8879, con V «estar infectado» y S «tener síntomas»: por Bayes, 0,038 entre P(S) = 0,0428.
b)P(X ≥ 1) = 11305/11449 ≈ 0,9874: si las dos personas son independientes, X, las que tienen el virus, es B(2; 95/107) y queda 1 − (12/107)².

Pregunta 1

PAU Madrid 2026 · Extraordinaria · incidenciasProbabilidad2 puntos

Un virus estomacal presenta como síntomas diarreas y fiebres en un 95 % de los infectados. En un momento de presión asistencial en la Comunidad de Madrid, 40 de cada mil habitantes están infectados por dicho virus. Por otro lado, un 0,5 % de la población no infectada por el virus presenta los mismos síntomas por otras causas.

a)Una persona tiene los síntomas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté infectado por el virus estomacal? (1 p)
b)Dadas dos personas que tienen los síntomas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas tenga el virus? (1 p)

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos.

Los criterios, a escala2puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Identificación de la probabilidad de estar infectado por el virus0,1
02a) Identificación de la probabilidad de tener los síntomas estando infectado0,1
03a) Identificación de la probabilidad de tener los síntomas sin estar infectado0,1
04a) Identificación del suceso cuya probabilidad se pide0,1
05a) Probabilidad total de tener los síntomas: uso de la fórmula0,2
06a) Probabilidad total de tener los síntomas: respuesta correcta0,1
07a) Probabilidad condicionada de estar infectado si se tienen los síntomas: uso de la fórmula0,2
08a) Probabilidad condicionada de estar infectado si se tienen los síntomas: respuesta correcta0,1
09b) Identificación de la distribución binomial0,1
10b) Parámetros correctos de la binomial0,2
11b) Identificación del suceso «al menos una de las dos personas tiene el virus»0,3
12b) Cálculo de la probabilidad: planteamiento0,2
13b) Cálculo de la probabilidad: respuesta correcta0,2

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Cómo ordenas los datos del enunciado?

Llama V a «estar infectado» y S a «tener los síntomas», y dibuja un árbol: primero si la persona está infectada y después si tiene síntomas.

Pista 2 · En b), ¿qué probabilidad tiene cada persona?

En b) las dos personas ya tienen síntomas: piensa qué probabilidad de tener el virus tiene cada una y cuenta cuántas lo tienen; para «al menos una», mira el suceso contrario.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Traduce los datos a probabilidadesTribunal: identificación de la probabilidad de estar infectado por el virus · identificación de la probabilidad de tener los síntomas estando infectado · identificación de la probabilidad de tener los síntomas sin estar infectado0,3
Llama V al suceso «estar infectado por el virus» y S a «tener los síntomas». Que 40 de cada mil habitantes estén infectados da P(V) = 0,04 y, por complemento, P(Vᶜ) = 0,96. El 95 % de los infectados tiene síntomas: P(S | V) = 0,95. El 0,5 % de los no infectados también los tiene: P(S | Vᶜ) = 0,005. Estas dos últimas son condicionadas porque cada porcentaje se refiere a un solo grupo, no a toda la población.
$P (V) = 0,04, P (S | V) = 0,95, P (S | V^{c}) = 0,005$
Tribunal
Identificación de datos: 0,3 puntos (0,1 puntos por cada probabilidad correcta).
0,3de 2
02a · Identifica el suceso que se pideTribunal: identificación del suceso cuya probabilidad se pide0,1
Lo que se sabe es que la persona tiene los síntomas, y lo que se pregunta es si está infectada: se pide P(V | S), con S detrás de la barra. No es P(S | V) = 0,95, que dice qué proporción de los infectados tiene síntomas.
Tribunal
Identificación del suceso: 0,1 puntos.
0,1de 2
03a · Calcula la probabilidad total de tener síntomasTribunal: probabilidad total de tener los síntomas: uso de la fórmula · probabilidad total de tener los síntomas: respuesta correcta0,3
Una persona puede tener los síntomas estando infectada o sin estarlo, y V y Vᶜ forman una partición de la población. Por el teorema de la probabilidad total, P(S) = P(V)·P(S | V) + P(Vᶜ)·P(S | Vᶜ) = 0,04·0,95 + 0,96·0,005 = 0,038 + 0,0048 = 0,0428. En un árbol con la infección en la primera rama y los síntomas en la segunda, cada sumando es un camino.
$P (S) = P (V) P (S | V) + P (V^{c}) P (S | V^{c}) = 0,04 \cdot 0,95 + 0,96 \cdot 0,005 = 0,0428$
Tribunal
Probabilidad total: 0,3 puntos (uso de la fórmula: 0,2 puntos, respuesta correcta: 0,1 puntos).
0,3de 2
04a · Aplica la probabilidad condicionadaTribunal: probabilidad condicionada de estar infectado si se tienen los síntomas: uso de la fórmula · probabilidad condicionada de estar infectado si se tienen los síntomas: respuesta correcta0,3
Por la definición de probabilidad condicionada (el teorema de Bayes), P(V | S) = P(V ∩ S)/P(S) = 0,038/0,0428 = 380/428 = 95/107 ≈ 0,8879. Comprueba con el complemento: P(Vᶜ | S) = 0,0048/0,0428 = 12/107 ≈ 0,1121, y las dos suman 1. Aunque solo el 4 % de la población está infectada, casi 9 de cada 10 personas con síntomas lo están, porque muy pocos sanos los presentan.
$P (V | S) = \frac{P (V) P (S | V)}{P (S)} = \frac{0,038}{0,0428} = \frac{95}{107} \approx 0,8879$
Tribunal
Probabilidad condicionada: 0,3 puntos (uso de la fórmula: 0,2 puntos, respuesta correcta: 0,1 puntos).
0,3de 2
05b · Identifica la binomial y sus parámetrosTribunal: identificación de la distribución binomial · parámetros correctos de la binomial0,3
Llama X al número de personas, de las dos, que tienen el virus. Cada persona es un ensayo con dos resultados (tiene el virus o no). El enunciado no lo dice, pero hay que suponer que las dos personas son independientes (lo que le pase a una no cambia la probabilidad de la otra); con esa hipótesis, X sigue una binomial. Hay n = 2 ensayos y, como las dos personas ya tienen síntomas, la probabilidad de éxito es la que has hallado en a): p = 95/107, no 0,04. Así, X ~ B(2; 95/107).
$X \sim B (2; \frac{95}{107})$
Tribunal
Identificación de la binomial: 0,1 puntos. Parámetros correctos de la binomial: 0,2 puntos.
0,3de 2
06b · Identifica el suceso «al menos una»Tribunal: identificación del suceso «al menos una de las dos personas tiene el virus»0,3
«Al menos una de las dos tiene el virus» es X ≥ 1, es decir, X = 1 o X = 2. Su contrario es X = 0: que ninguna de las dos lo tenga. Con «al menos» suele ser más corto pasar al contrario, que tiene un solo caso.
Tribunal
Identificación del suceso: 0,3 puntos.
0,3de 2
07b · Calcula la probabilidadTribunal: cálculo de la probabilidad: planteamiento · cálculo de la probabilidad: respuesta correcta0,4
Plantea P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)², con 1 − p = 12/107. Queda 1 − 144/11449 = 11305/11449 ≈ 0,9874. Comprueba sumando los dos casos: P(X = 1) + P(X = 2) = 2·(95/107)·(12/107) + (95/107)² = (2280 + 9025)/11449, lo mismo. Si en a) te ha salido otro valor, b) se puntúa con él, así que plantea b) igualmente.
$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - {(\frac{12}{107})}^{2} = \frac{11305}{11449} \approx 0,9874$
Tribunal
Cálculo de la probabilidad: 0,4 puntos (planteamiento: 0,2 puntos, respuesta correcta: 0,2 puntos). (Si el valor hallado en a) es erróneo, las calificaciones se otorgan en b) para dicho valor).
0,4de 2

Error típico

Usar el 4 % de la población como parámetro p

Lo que se suele escribir: ~~X ~ B(2; 0,04)~~. Lo correcto: X ~ B(2; 95/107)

En b) es muy habitual tomar como probabilidad de éxito el 4 % de la población, P(V) = 0,04, y escribir B(2; 0,04). Pero las dos personas ya tienen síntomas: para ellas la probabilidad de estar infectadas es P(V | S) = 95/107, la de a). Con 0,04 saldría 1 − 0,96² = 0,0784, muy lejos de la respuesta. Antes de fijar p, pregúntate qué se sabe de cada persona.

Cuesta los puntos de «parámetros correctos de la binomial»: 0,2 puntos de 2.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.