Concepto · Probabilidad · Matemáticas II y Matemáticas CCSS II

Distribución binomial: fórmula, media y aproximación por la normal

Q: ¿Cuándo se puede aproximar una binomial por una normal?

Se usa el criterio np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5. Si se cumple, B(n; p) se aproxima por la normal con la misma media y la misma desviación típica, N(np; √(np(1 − p))), y se aplica la corrección por continuidad. Con los 4 triples del ejemplo no se puede: np = 4·0,4 = 1,6 no llega a 5, así que se usa la fórmula de la binomial.

Q: ¿Por qué se suma o se resta 0,5 en la corrección por continuidad?

Porque cada valor entero k de la binomial ocupa en la normal el tramo de k − 0,5 a k + 0,5. Por eso P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0,5), P(X ≥ k) ≈ P(Y ≥ k − 0,5) y P(X = k) ≈ P(k − 0,5 ≤ Y ≤ k + 0,5). Sin la corrección, P(X = k) saldría 0, porque en la normal un valor suelto tiene probabilidad 0.

Q: ¿Puedo contar los fallos en lugar de los aciertos?

Sí. Si X ~ B(n; p) cuenta los aciertos, los fallos son n − X y siguen una B(n; 1 − p). Con los 4 triples, los fallos siguen una B(4; 0,6), y «al menos 3 aciertos» es lo mismo que «como mucho 1 fallo». Escribe qué cuenta tu variable y usa la p que le corresponde.

Q: ¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?

Los 15 ejercicios resueltos de esta página: la 1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 4.1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 4.2 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 4.1 de la extraordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 1 de la extraordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas II (Madrid) y la 3.1 de la ordinaria de 2025 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y otros. Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.

Con figura interactiva
15 ejercicios resueltos de la PAU
Explicación verificada

En breve

La distribución binomial B(n; p) es la del número de éxitos en n pruebas independientes, cada una con dos resultados posibles y la misma probabilidad de éxito p. La probabilidad de k éxitos es P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, su media es np y su desviación típica, √(np(1 − p)).

Dicho con precisión

Una variable X sigue una binomial B(n; p) si cuenta los éxitos en n pruebas independientes, cada una con solo dos resultados, éxito o fracaso, y con la misma probabilidad de éxito p en todas. X toma los valores 0, 1, …, n, con P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, donde C(n, k) = n!/(k!·(n − k)!). Su media es μ = np y su desviación típica, σ = √(np(1 − p)).

\begin{matrix} P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n \\ μ = n p, σ = \sqrt{n p (1 - p)} \end{matrix}

Míralo en movimiento

Es la figura del ejercicio 4.1 de la ordinaria de Madrid 2026: cada una de 10 baterías independientes es buena con probabilidad p, y las buenas, Y, siguen una B(10; p). Toca la caja para llenar lotes: se subraya si salen al menos 9. La compuerta y el mando σ cambian p y P(Y ≥ 9).

Abrir la figura a pantalla completa

Cómo se aplica, paso a paso

Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.

Ejemplo

Una jugadora encesta el 40 % de sus triples, y los tiros son independientes. Si lanza 4, calcula la probabilidad de encestar exactamente 2 y la de encestar al menos 1. Si lanza 150, halla la media y la desviación típica de sus aciertos y, con la normal, la probabilidad de encestar más de 64.

Justifica que la variable es binomial y escribe sus parámetros
Define primero la variable con palabras: X = «número de triples encestados en 4 lanzamientos». Después comprueba por escrito las tres condiciones: hay un número fijo de pruebas, n = 4 tiros; cada tiro tiene dos resultados, encestar (éxito) o fallar; y los tiros son independientes, con la misma probabilidad de éxito en todos, p = 0,4. Entonces X ~ B(4; 0,4), y sus valores posibles son 0, 1, 2, 3 y 4. Si lanza 150, solo cambia n: X ~ B(150; 0,4).
$X \sim B (4; 0,4)$
Calcula P(X = k) con el número combinatorio
Un caso con 2 aciertos es encestar, encestar, fallar y fallar: como los tiros son independientes, su probabilidad es el producto, 0,4²·0,6² = 0,0576. Pero los 2 aciertos pueden caer en cualquier par de tiros, y cada orden tiene la misma probabilidad. El número combinatorio C(n, k) = n!/(k!·(n − k)!), que se lee «n sobre k», cuenta esos órdenes: C(4, 2) = 6. Por tanto, P(X = 2) = 6·0,16·0,36 = 0,3456. En general, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
$P (X = 2) = (\binom{4}{2}) {0,4}^{2} \cdot {0,6}^{2} = 6 \cdot 0,16 \cdot 0,36 = 0,3456$
Traduce «al menos», «como mucho» y «más de», y usa el complementario
En una binomial importa si el extremo entra: «al menos k» es X ≥ k; «como mucho k» (o «a lo sumo k»), X ≤ k; «más de k», X ≥ k + 1, y «menos de k», X ≤ k − 1. «Al menos 1» son los valores 1, 2, 3 y 4: en lugar de sumar cuatro términos, resta del total el único que falta. P(X = 0) = 0,6⁴ = 0,1296, así que P(X ≥ 1) = 1 − 0,1296 = 0,8704. Del mismo modo, «como mucho 3» es todo salvo X = 4: P(X = 4) = 0,4⁴ = 0,0256, luego P(X ≤ 3) = 1 − 0,0256 = 0,9744.
$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - {0,6}^{4} = 0,8704$
$P (X \leq 3) = 1 - P (X = 4) = 1 - {0,4}^{4} = 0,9744$
Halla la media y la desviación típica y comprueba el criterio de la normal
Con 150 tiros, X ~ B(150; 0,4). La media es μ = np = 150·0,4 = 60: es el número de aciertos que se espera, en promedio, en una serie de 150. La desviación típica es σ = √(np(1 − p)) = √(150·0,4·0,6) = √36 = 6. Para P(X > 64) con la fórmula habría que sumar los 86 términos de X = 65 a X = 150, o los 65 del complementario. Por eso se aproxima por la normal, y el criterio para hacerlo es np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5: aquí np = 60 y n(1 − p) = 150·0,6 = 90, así que se cumple. La normal tiene la misma media y la misma desviación típica que la binomial: N(60; 6).
$μ = n p = 150 \cdot 0,4 = 60, σ = \sqrt{150 \cdot 0,4 \cdot 0,6} = \sqrt{36} = 6$
$B (150; 0,4) \approx N (60; 6)$
Aplica la corrección por continuidad, tipifica y lee la tabla
X solo toma valores enteros y la normal es continua, así que cada entero k pasa al tramo de k − 0,5 a k + 0,5. «Más de 64» empieza en X = 65, y el tramo del 65 arranca en 64,5: P(X > 64) = P(X ≥ 65) ≈ P(Y ≥ 64,5), con Y ~ N(60; 6). Tipifica: (64,5 − 60)/6 = 0,75, y en la tabla, P(Z ≤ 0,75) = 0,7734. Como la tabla da el área de la izquierda, pasa al complementario: P(X > 64) ≈ 1 − 0,7734 = 0,2266. La binomial exacta da 0,2259: la aproximación se queda a menos de una milésima.
$P (X > 64) = P (X \geq 65) \approx P (Y \geq 64,5) = P (Z \geq \frac{64,5 - 60}{6}) = P (Z \geq 0,75)$
$P (Z \geq 0,75) = 1 - P (Z \leq 0,75) = 1 - 0,7734 = 0,2266$

Errores típicos

Olvidar el número combinatorio
El producto 0,4²·0,6² es la probabilidad de un solo orden, por ejemplo encestar los dos primeros tiros y fallar los dos últimos. P(X = 2) reúne los C(4, 2) = 6 órdenes con 2 aciertos, todos igual de probables: 6·0,0576 = 0,3456. Sin el número combinatorio te quedas en 0,0576, la sexta parte.
Tratar «más de» como «al menos»
En una binomial, cada entero de 0 a n tiene probabilidad positiva si 0 < p < 1, así que P(X > 64) y P(X ≥ 64) son distintas: la segunda incluye P(X = 64). «Más de 64» empieza en 65 y «al menos 64», en 64. Antes de calcular, escribe qué enteros entran. En una normal da igual incluir el extremo, porque es continua; en una binomial, no.
Equivocarse de lado en la corrección por continuidad
El tramo de cada entero k va de k − 0,5 a k + 0,5. En «más de 64», el primer entero que entra es 65 y su tramo empieza en 64,5, así que se calcula P(Y ≥ 64,5). Con P(Y ≥ 65,5) dejas fuera el propio 65, y con P(Y ≥ 64), sin corregir, cuentas la mitad del tramo del 64, que no entra.
Tipificar con la varianza
En B(150; 0,4), np(1 − p) = 36 es la varianza, y la desviación típica es su raíz, σ = 6. Si divides entre 36, sale (64,5 − 60)/36 = 0,125 en lugar de 0,75, y la probabilidad que lees en la tabla es otra. La normal que aproxima a la binomial es N(np; √(np(1 − p))).

Ejercicios reales de la PAU

15 ejercicios resueltos de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.

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Otros conceptos

Preguntas frecuentes

¿Cómo se justifica en el examen que una variable es binomial?

Di qué cuenta la variable y comprueba las tres condiciones con los datos: un número fijo n de pruebas independientes, cada una con dos resultados posibles, y la misma probabilidad de éxito p en todas. Después escribe X ~ B(n; p). Si se sacan elementos de un grupo sin devolverlos, la probabilidad de éxito cambia de una extracción a la siguiente y, en rigor, la variable no es binomial; cuando el grupo es muy grande frente a n, ese cambio es mínimo y se trata como binomial.

¿Qué diferencia hay entre la distribución binomial y la normal?

La binomial es discreta: cuenta éxitos, solo toma los valores enteros 0, 1, …, n y, si 0 < p < 1, cada uno tiene probabilidad positiva, por eso importa si el extremo entra. La normal es continua: sus probabilidades son áreas bajo la campana y la probabilidad de un valor suelto es 0. La binomial se calcula con la fórmula de P(X = k); la normal, tipificando y con la tabla.

¿Cuándo se puede aproximar una binomial por una normal?

Se usa el criterio np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5. Si se cumple, B(n; p) se aproxima por la normal con la misma media y la misma desviación típica, N(np; √(np(1 − p))), y se aplica la corrección por continuidad. Con los 4 triples del ejemplo no se puede: np = 4·0,4 = 1,6 no llega a 5, así que se usa la fórmula de la binomial.

¿Por qué se suma o se resta 0,5 en la corrección por continuidad?

Porque cada valor entero k de la binomial ocupa en la normal el tramo de k − 0,5 a k + 0,5. Por eso P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0,5), P(X ≥ k) ≈ P(Y ≥ k − 0,5) y P(X = k) ≈ P(k − 0,5 ≤ Y ≤ k + 0,5). Sin la corrección, P(X = k) saldría 0, porque en la normal un valor suelto tiene probabilidad 0.

¿Puedo contar los fallos en lugar de los aciertos?

Sí. Si X ~ B(n; p) cuenta los aciertos, los fallos son n − X y siguen una B(n; 1 − p). Con los 4 triples, los fallos siguen una B(4; 0,6), y «al menos 3 aciertos» es lo mismo que «como mucho 1 fallo». Escribe qué cuenta tu variable y usa la p que le corresponde.

¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?

Los 15 ejercicios resueltos de esta página: la 1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 4.1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 4.2 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 4.1 de la extraordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 1 de la extraordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas II (Madrid) y la 3.1 de la ordinaria de 2025 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y otros. Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.

Fuente

Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.

Dicho con precisión

Míralo en movimiento

Cómo se aplica, paso a paso

Justifica que la variable es binomial y escribe sus parámetros

Calcula P(X = k) con el número combinatorio

Traduce «al menos», «como mucho» y «más de», y usa el complementario

Halla la media y la desviación típica y comprueba el criterio de la normal

Aplica la corrección por continuidad, tipifica y lee la tabla

Errores típicos

Olvidar el número combinatorio

Tratar «más de» como «al menos»

Equivocarse de lado en la corrección por continuidad

Tipificar con la varianza

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