PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 1: melocotón de Calanda: tamaño de la muestra y aproximación normal de la binomial
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- a)n = 52 melocotones: con z_(α/2) ≈ 2,144, el error z_(α/2) · 50/√n ≤ 15 exige n ≥ 51,09 y se redondea hacia arriba.
- b)E(Y) = 380 melocotones y P(Y ≥ 375) ≈ 0,8962: Y ~ B(400; 0,95) se aproxima por N(380; √19 ≈ 4,36) y se tipifica 374,5 por la corrección por continuidad.
Pregunta 1
En la Comunidad Autónoma de Aragón se encuentra la única Denominación de Origen Protegida (DOP) de melocotón, el Melocotón de Calanda, que celebró su 26º aniversario en 2025. El Departamento de Agricultura de Aragón registró comercialmente para la DOP tres variedades tradicionales de este producto, Jesca, Calante y Evaisa. La DOP exige unas características que deben cumplir sus frutos en cuanto a su aspecto, coloración, calibre, dureza, contenido en azúcar, etc.
- a)La información recogida durante estos años permite indicar que el peso de los melocotones de la variedad Jesca puede ser aproximado por una distribución normal con desviación típica 50 gramos. Determine el número mínimo de melocotones que sería necesario seleccionar en una muestra aleatoria simple para estimar el peso medio de los melocotones de esta variedad de manera que, con un nivel de confianza del 96,8 %, el margen de error en la estimación no supere los 15 gramos. (1 p)
- b)Durante los dos últimos meses de crecimiento, los melocotones de la DOP Melocotón de Calanda permanecen embolsados uno a uno en el propio árbol mediante bolsas protectoras que garantizan su pureza y evitan el contacto con productos fitosanitarios. Se calcula que en la última campaña se embolsaron unos 250 millones de melocotones. Pese a ello, las tormentas de verano con granizo pueden dañar un 5 % de los frutos. En una cooperativa de las empresas certificadas se reciben melocotones para su comercialización como DOP y se inspecciona una muestra aleatoria simple de 400 melocotones. Obtenga el número esperado de melocotones no dañados y calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que al menos 375 melocotones no estén dañados. (1,5 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAH. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uah.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Determinación del valor crítico z_(α/2)0,3
- 02a) Planteamiento con la aplicación de la fórmula del error0,2
- 03a) Cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,5
- 04b) Cálculo del número esperado de melocotones no dañados0,2
- 05b) Aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,5
- 06b) Cálculo correcto de la probabilidad pedida0,8
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo se despeja el tamaño de la muestra?
En el apartado a, busca en la tabla el valor que deja a su izquierda un área de 1 − α/2, escribe la fórmula del error y despeja n; recuerda que el tamaño de una muestra es un número entero.
Pista 2 · ¿Qué distribución cuenta los no dañados?
En el apartado b, define la variable que cuenta los melocotones no dañados, reconoce su distribución y comprueba las condiciones antes de pasar a la normal: vas de una variable discreta a una continua.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Busca el valor crítico z_(α/2) en la tablaTribunal: determinación del valor crítico z_(α/2)0,3
Con un nivel de confianza del 96,8 %, 1 − α = 0,968, así que α = 0,032 y α/2 = 0,016. El valor crítico deja a su izquierda un área de 1 − 0,016 = 0,984. En la tabla, 0,984 cae justo en medio de 0,9838 (z = 2,14) y 0,9842 (z = 2,15), así que el valor crítico está entre los dos; con más precisión, z_(α/2) ≈ 2,144. Escribe de dónde sale: el valor sin justificar no suma.
02a · Plantea la condición sobre el errorTribunal: planteamiento con la aplicación de la fórmula del error0,2
El peso sigue una normal con σ = 50 g, así que el error máximo al estimar la media con una muestra de tamaño n es E = z_(α/2) · σ/√n. Se pide que no supere los 15 g: 2,144 · 50/√n ≤ 15.
03a · Despeja n y redondea hacia arribaTribunal: cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,5
Despejando con el valor crítico sin redondear (2,1444…), √n ≥ z_(α/2) · 50/15 ≈ 7,148, y al elevar al cuadrado n ≥ 51,09. El tamaño es un número entero y tiene que cumplir la desigualdad, así que se redondea hacia arriba: n = 52 melocotones. Comprobación: con n = 52 el error es ≈ 14,87 g ≤ 15, y con n = 51 sería ≈ 15,01 g, que se pasa. Si en la tabla tomas el extremo conservador z = 2,15, sale n ≥ 51,36 y también 52. Si lees z = 2,14, sale n ≥ 50,88 y n = 51, un valor que también se da por bueno; 52 es el tamaño que asegura el 96,8 % con el valor crítico más preciso.
04b · Calcula el número esperado de melocotones no dañadosTribunal: cálculo del número esperado de melocotones no dañados0,2
Sea Y = «número de melocotones no dañados entre los 400 inspeccionados». Cada melocotón está sin dañar con probabilidad 1 − 0,05 = 0,95. Las inspecciones se modelan como ensayos aproximadamente independientes con p = 0,95, porque el lote es grande frente a la muestra de 400. Por tanto, Y ~ B(400; 0,95) y E(Y) = n · p = 400 · 0,95 = 380 melocotones.
05b · Justifica la aproximación normal y da sus parámetrosTribunal: aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,5
Como n = 400 ≥ 30, n · p = 380 ≥ 5 y n · q = 400 · 0,05 = 20 ≥ 5, la binomial se puede aproximar por una normal W de media μ = n · p = 380 y desviación típica σ = √(n · p · q) = √(400 · 0,95 · 0,05) = √19 ≈ 4,36. Deja escritas las condiciones: sin ellas la aproximación no está justificada.
06b · Calcula P(Y ≥ 375) con corrección por continuidadTribunal: cálculo correcto de la probabilidad pedida0,8
«Al menos 375» incluye el 375, así que al pasar a la normal se empieza medio punto antes: P(Y ≥ 375) ≈ P(W ≥ 374,5). Tipificando, (374,5 − 380)/4,36 ≈ −1,26. Por simetría, P(Z ≥ −1,26) = P(Z ≤ 1,26) = 0,8962, el valor de la tabla.
Error típico
Aplicar la corrección por continuidad hacia el lado equivocado
Lo que se suele escribir: P(Y ≥ 375) ≈ P(W ≥ 375,5). Lo correcto: P(Y ≥ 375) ≈ P(W ≥ 374,5)
«Al menos 375» incluye el 375, y en la normal ese valor ocupa el intervalo de 374,5 a 375,5. Muchos alumnos corrigen hacia el lado equivocado y tipifican 375,5: sale z ≈ −1,03 y una probabilidad de 0,8485 en vez de 0,8962, y se pierde parte de los puntos del cálculo. Antes de tipificar, piensa qué valores enteros tienen que quedar dentro y amplía medio punto hacia ese lado.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la probabilidad pedida»: 0,8 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2026 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uah.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 5.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAH. Publicado en uah.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.