PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 2.1: ecuación matricial con la inversa y la traspuesta, y matriz definida por un cociente
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- a)C = ((−3, 2), (−1/2, 0)): I + 2Cᵗ = A⁻¹, con A⁻¹ = ((−5, −1), (4, 1)), así que Cᵗ = (A⁻¹ − I)/2.
- b)D = (1/3)·((1, −1, 1), (−1, 1, −1), (1, −1, 1)): Dᵗ = BᵗB/|BBᵗ| con BᵗB = ((1, −1, 1), (−1, 1, −1), (1, −1, 1)) y |BBᵗ| = 3; como Dᵗ es simétrica, D = Dᵗ.
Pregunta 2.1
Se consideran las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene una sola fila: B = (1, −1, 1). Nota: para cualquier matriz M, Mᵗ indica su matriz traspuesta.
- a)Calcule la matriz C tal que (I + 2Cᵗ)⁻¹ = A, donde I es la matriz identidad de orden dos. (1,5 p)
- b)Calcule, si es posible, la matriz D tal que Dᵗ = BᵗB/|BBᵗ|. (1 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAH. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uah.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Obtención de la expresión correcta de C0,4
- 02a) Cálculo correcto de A⁻¹0,6
- 03a) Cálculo correcto de C0,5
- 04b) Cálculo correcto de BᵗB0,4
- 05b) Cálculo correcto de BBᵗ0,2
- 06b) Cálculo correcto de Dᵗ0,2
- 07b) Cálculo correcto de D0,2
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo te libras de la inversa?
En el apartado a, quítate primero la inversa de encima de la ecuación y despeja Cᵗ; no olvides que lo que te piden es C.
Pista 2 · ¿Qué tamaño tiene cada producto?
En el apartado b, antes de multiplicar escribe la dimensión de cada producto: BᵗB y BBᵗ no tienen el mismo tamaño, y el denominador tiene que ser un número.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Despeja C de la ecuaciónTribunal: obtención de la expresión correcta de C0,4
Si (I + 2Cᵗ)⁻¹ = A, al invertir los dos miembros queda I + 2Cᵗ = A⁻¹, porque la inversa de la inversa es la propia matriz. Entonces 2Cᵗ = A⁻¹ − I y Cᵗ = (A⁻¹ − I)/2. Lo que piden es C, así que al final hay que trasponer: C = ((A⁻¹ − I)/2)ᵗ.
02a · Calcula la inversa de ATribunal: cálculo correcto de A⁻¹0,6
Primero, |A| = (−1) · 5 − (−1) · 4 = −5 + 4 = −1 ≠ 0, así que A tiene inversa. Con A⁻¹ = (1/|A|) · (Adj A)ᵗ, en una matriz 2×2 se intercambian los elementos de la diagonal y se cambia el signo de los otros dos: ((5, 1), (−4, −1)). Al dividir entre −1, A⁻¹ = ((−5, −1), (4, 1)). Comprobación: A · A⁻¹ = I.
03a · Calcula Cᵗ y trasponla para obtener CTribunal: cálculo correcto de C0,5
A⁻¹ − I = ((−6, −1), (4, 0)), y la mitad es Cᵗ = ((−3, −1/2), (2, 0)). Trasponiendo, las filas pasan a columnas: C = ((−3, 2), (−1/2, 0)). Comprobación: I + 2Cᵗ = ((−5, −1), (4, 1)) = A⁻¹, cuya inversa es A.
04b · Calcula el producto BᵗBTribunal: cálculo correcto de BᵗB0,4
B es una matriz fila 1×3, así que Bᵗ es una columna 3×1 y BᵗB es una matriz 3×3. Cada elemento es el producto de un elemento de la columna por uno de la fila: el (1, 2), por ejemplo, es 1 · (−1) = −1. Queda BᵗB = ((1, −1, 1), (−1, 1, −1), (1, −1, 1)), que es simétrica.
05b · Calcula BBᵗ y su determinanteTribunal: cálculo correcto de BBᵗ0,2
En el otro orden, una fila 1×3 por una columna 3×1 da una matriz 1×1: BBᵗ = (1 · 1 + (−1) · (−1) + 1 · 1) = (3). Su determinante es su único elemento, |BBᵗ| = 3. Como no es cero, se puede dividir: D existe y se puede calcular.
06b · Calcula DᵗTribunal: cálculo correcto de Dᵗ0,2
Dᵗ = BᵗB/3: se divide cada elemento de BᵗB entre 3. Queda Dᵗ = (1/3) · ((1, −1, 1), (−1, 1, −1), (1, −1, 1)), es decir, elementos 1/3 y −1/3 alternados.
07b · Obtén D trasponiendo DᵗTribunal: cálculo correcto de D0,2
D = (Dᵗ)ᵗ. Como BᵗB es simétrica ((BᵗB)ᵗ = BᵗB), Dᵗ también lo es y trasponerla no cambia nada: D = Dᵗ = (1/3) · ((1, −1, 1), (−1, 1, −1), (1, −1, 1)). Aun así, escribe la trasposición: es el paso que puntúa.
Error típico
Quitar la inversa sin invertir el otro miembro
Lo que se suele escribir: I + 2Cᵗ = A. Lo correcto: I + 2Cᵗ = A⁻¹
El error que más cuesta es quedarse con I + 2Cᵗ = A, como si la inversa desapareciera sin más. Al invertir los dos miembros de (I + 2Cᵗ)⁻¹ = A, la inversa pasa al otro lado: I + 2Cᵗ = A⁻¹. Si te la saltas, no necesitas A⁻¹ y sale una C equivocada, con lo que pierdes los puntos de la expresión y arrastras el error al resto del apartado. Comprueba al final que la inversa de I + 2Cᵗ da A.
Cuesta los puntos de «obtención de la expresión correcta de C»: 0,4 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2026 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uah.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 5.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAH. Publicado en uah.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.