PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 3.2: parábola con parámetro: cortes con los ejes, monotonía y primitiva con dos condiciones
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- a)f corta al eje OX en (0, 0) y (3/2, 0) y corta al eje OY en (0, 0); decrece en (−∞, 3/4) y crece en (3/4, +∞), pues f′(x) = (4x − 3)/a, a > 0.
- b)a = 9/10, con F(x) = 20x³/27 − 5x²/3 + 2: F(0) = 2 da C = 2 y F(3) = 9/(2a) + 2 = 7.
Pregunta 3.2
Dada la función real de variable real f(x) = (2x² − 3x)/a, donde a > 0 es un parámetro real.
- a)Determine los cortes con los ejes de coordenadas, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. (1,2 p)
- b)Determine el valor de a para que la función f(x) tenga una primitiva, F(x), que verifique F(0) = 2 y F(3) = 7. (1,3 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAH. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uah.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: cálculo correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento y cálculo correcto de la primitiva.
- 01a) Cálculo correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,8
- 02a) Cálculo correcto de los puntos de corte con los ejes0,4
- 03b) Cálculo correcto de la primitiva0,8
- 04b) Cálculo correcto del parámetro a0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué papel juega a en el signo de f′?
En el apartado a, los cortes salen de resolver f(x) = 0 y de calcular f(0). Para la monotonía, estudia el signo de f′ y fíjate en qué hace el parámetro: sabes que a > 0.
Pista 2 · ¿Cuántas incógnitas tiene la primitiva?
En el apartado b, escribe la primitiva general sin olvidar la constante. Tienes dos incógnitas, la constante y a, y dos condiciones: empieza por la que solo depende de la constante.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Halla los puntos de corte con los ejesTribunal: cálculo correcto de los puntos de corte con los ejes0,4
Con el eje OX, iguala f(x) = 0: como a ≠ 0, basta con 2x² − 3x = x(2x − 3) = 0, que da x = 0 y x = 3/2. Los cortes con OX son (0, 0) y (3/2, 0). Con el eje OY, calcula f(0) = 0: el corte es el origen, (0, 0).
02a · Estudia el signo de f′Tribunal: cálculo correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,8
Deriva: f′(x) = (4x − 3)/a, que se anula en x = 3/4. Como a > 0, el signo de f′ es el de 4x − 3: negativo para x < 3/4 y positivo para x > 3/4. Por tanto, f decrece en (−∞, 3/4) y crece en (3/4, +∞), con un mínimo en x = 3/4; los intervalos no dependen de a.
03b · Calcula la primitiva general con su constanteTribunal: cálculo correcto de la primitiva0,8
a es una constante, así que sale fuera de la integral y se integra término a término el polinomio 2x² − 3x. La primitiva general es F(x) = (2x³/3 − 3x²/2)/a + C. La constante C es imprescindible: sin ella, F(0) valdría siempre 0.
04b · Impón F(0) = 2 y F(3) = 7 y despeja aTribunal: cálculo correcto del parámetro a0,5
F(0) = C, así que C = 2. Después, F(3) = (18 − 27/2)/a + 2 = 9/(2a) + 2; al igualarlo a 7 queda 9/(2a) = 5, es decir, a = 9/10, que cumple a > 0. Con esos valores, F(x) = 20x³/27 − 5x²/3 + 2, y la comprobación sale: F(3) = 20 − 15 + 2 = 7.
Error típico
Olvidar la constante de integración
Lo que se suele escribir: F(x) = (2x³/3 − 3x²/2)/a. Lo correcto: F(x) = (2x³/3 − 3x²/2)/a + C
El error que más puntos cuesta en el apartado b es escribir la primitiva sin la constante de integración. Sin ella, F(0) vale 0 y la condición F(0) = 2 no se puede cumplir, así que te quedas sin una de las dos ecuaciones y pierdes los puntos de la primitiva. Escribe siempre la primitiva general con su constante y usa las dos condiciones: una fija la constante y la otra, a.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la primitiva»: 0,8 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2026 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uah.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 5.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAH. Publicado en uah.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.