PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria · incidencias
Pregunta 2.2: polinomio de grado 3: parámetro con una primitiva, cortes con los ejes y monotonía
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- a)a = 6: la primitiva con C = 0 es F(x) = −x⁴/2 + 3x³ − 6x² + ax, y F(2) = 2a − 8 = 4.
- b)corta al eje OY en (0, 9) y corta al eje OX solo en (3, 0); como f′(x) = −6(x − 1)(x − 2), crece en (1, 2), decrece en (−∞, 1) ∪ (2, +∞), con mínimo relativo en (1, 4) y máximo relativo en (2, 5).
Pregunta 2.2
Se considera la función real de variable real dada por la siguiente expresión: f(x) = −2x³ + 9x² − 12x + a.
- a)Determine el valor del parámetro real a para que la función f(x) tenga una primitiva, F(x), que verifique F(0) = 0 y F(2) = 4. (1 p)
- b)Para a = 9 determine los cortes con los ejes de coordenadas, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos de la función f(x). (1,5 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de la primitiva0,4
- 02a) Cálculo correcto de la constante0,2
- 03a) Cálculo correcto del valor de a0,4
- 04b) Obtención correcta de los puntos de corte con los ejes0,4
- 05b) Cálculo correcto de la derivada0,3
- 06b) Cálculo correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,6
- 07b) Cálculo correcto del máximo y del mínimo0,2
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cuántas incógnitas tiene la primitiva?
Integra f término a término sin olvidar la constante de integración: cada condición sobre F te da una ecuación.
Pista 2 · ¿Cómo se resuelve la ecuación cúbica?
Para los cortes con el eje OX, busca una raíz entera probando divisores del término independiente y factoriza con Ruffini; para la monotonía, estudia el signo de la derivada.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula una primitiva de fTribunal: cálculo correcto de la primitiva0,4
Integra término a término, sumando 1 a cada exponente y dividiendo por el nuevo exponente; el parámetro a es una constante y su primitiva es ax. Queda F(x) = −x⁴/2 + 3x³ − 6x² + ax + C. Compruébalo derivando: F′(x) = −2x³ + 9x² − 12x + a = f(x).
02a · Fija la constante con F(0) = 0Tribunal: cálculo correcto de la constante0,2
Al sustituir x = 0 todos los términos con x se anulan y solo queda la constante: F(0) = C. Como debe valer 0, C = 0 y la primitiva buscada es F(x) = −x⁴/2 + 3x³ − 6x² + ax.
03a · Calcula a con F(2) = 4Tribunal: cálculo correcto del valor de a0,4
Sustituye x = 2: F(2) = −16/2 + 24 − 24 + 2a = 2a − 8. Iguala a 4: 2a − 8 = 4, así que a = 6.
04b · Calcula los cortes con los ejesTribunal: obtención correcta de los puntos de corte con los ejes0,4
Con a = 9, f(x) = −2x³ + 9x² − 12x + 9. Con el eje OY, x = 0 y f(0) = 9: el punto es (0, 9). Con el eje OX resuelve f(x) = 0, que equivale a 2x³ − 9x² + 12x − 9 = 0; probando valores, x = 3 la cumple (54 − 81 + 36 − 9 = 0). Por Ruffini queda (x − 3)(2x² − 3x + 3) = 0, y el discriminante del factor de grado 2 es 9 − 24 = −15 < 0, así que no hay más raíces: el único corte con OX es (3, 0).
05b · Deriva fTribunal: cálculo correcto de la derivada0,3
Deriva término a término: f′(x) = −6x² + 18x − 12. Saca factor común −6 y factoriza: f′(x) = −6(x² − 3x + 2) = −6(x − 1)(x − 2). Así ves de un vistazo que se anula en x = 1 y en x = 2.
06b · Estudia el signo de f′ en cada intervaloTribunal: cálculo correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,6
Los ceros de f′, x = 1 y x = 2, parten la recta en tres intervalos; toma un punto de cada uno. f′(0) = −12 < 0, f′(1,5) = 1,5 > 0 y f′(3) = −12 < 0. Por tanto, f decrece en (−∞, 1) ∪ (2, +∞) y crece en (1, 2). Cuadra con el coeficiente −6: la parábola f′ abre hacia abajo y solo es positiva entre sus raíces.
07b · Localiza el mínimo y el máximo relativosTribunal: cálculo correcto del máximo y del mínimo0,2
En x = 1 la función pasa de decrecer a crecer: hay un mínimo relativo, y f(1) = −2 + 9 − 12 + 9 = 4. En x = 2 pasa de crecer a decrecer: hay un máximo relativo, y f(2) = −16 + 36 − 24 + 9 = 5. Los extremos son el mínimo (1, 4) y el máximo (2, 5); para los puntos basta con las abscisas, pero dar las ordenadas completa la respuesta.
Error típico
Olvidar el signo negativo de f′ al estudiar su signo
Lo que se suele escribir: crece en (−∞, 1) ∪ (2, +∞). Lo correcto: crece en (1, 2)
Al ver que f′ se anula en x = 1 y x = 2, se suele dar por hecho que f crece fuera de esas raíces, como si f′ tuviera coeficiente positivo. Pero f′(x) = −6(x − 1)(x − 2) lleva un −6 que invierte los signos: el error cuesta los 0,6 puntos de la monotonía y cambia el máximo por el mínimo. Evalúa f′ en un punto de cada intervalo antes de escribir dónde crece.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de los intervalos de crecimiento y decrecimiento»: 0,6 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 7.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.