PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria · incidencias
Pregunta 2.1: función definida a trozos: dominio, asíntotas y recta tangente en x = 0
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- a)Dom f = ℝ − {1}, asíntota vertical x = 1, no tiene asíntotas horizontales y asíntota oblicua y = x + 2 en −∞, pues en +∞ manda 2x² + 1.
- b)y = −x/2 es la tangente: con a = 2, f(0) = 0 y f′(0) = −1/2, pues f′(x) = (x² − 4x − 2)/(x − 2)².
Pregunta 2.1
Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = (x² + x)/(x − a) si x ≤ 3; f(x) = 2x² + 1 si x > 3.
- a)Para a = 1 calcule el dominio y las asíntotas de la función. (1,5 p)
- b)Para a = 2 obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica f(x) en el punto de abscisa x = 0. (1 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto del dominio de f(x)0,2
- 02a) Cálculo correcto de la asíntota vertical0,4
- 03a) Justificación correcta de la no existencia de asíntotas horizontales0,4
- 04a) Cálculo correcto de la asíntota oblicua0,5
- 05b) Cálculo correcto de la derivada0,5
- 06b) Determinación de la pendiente de la recta tangente0,2
- 07b) Expresión de la recta tangente en cualquiera de sus formas0,3
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué trozo se usa en cada zona?
Antes de calcular límites, mira qué trozo de la función se usa en cada zona: hacia −∞ y hacia +∞ no es el mismo.
Pista 2 · ¿Qué trozo hay que derivar?
Para la tangente necesitas el valor de la función y de su derivada en x = 0; fíjate en qué trozo está ese punto y usa el valor de a del apartado b).
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula el dominioTribunal: cálculo correcto del dominio de f(x)0,2
Con a = 1, para x > 3 la función es el polinomio 2x² + 1, definido siempre. Para x ≤ 3 es (x² + x)/(x − 1), que solo falla donde se anula el denominador: x = 1, que sí está en la zona x ≤ 3. En x = 3 se usa el primer trozo, f(3) = 12/2 = 6, así que está definida. Por tanto, Dom f = ℝ − {1}.
02a · Estudia la asíntota vertical en x = 1Tribunal: cálculo correcto de la asíntota vertical0,4
En x = 1 el numerador vale 1 + 1 = 2 y el denominador se anula, así que los límites laterales son infinitos. Por la izquierda x − 1 es negativo y el límite es −∞; por la derecha es positivo y el límite es +∞. Por tanto, x = 1 es asíntota vertical. En x = 3 no hay otra: los límites laterales valen 6 y 19, finitos.
03a · Justifica que no hay asíntotas horizontalesTribunal: justificación correcta de la no existencia de asíntotas horizontales0,4
Calcula el límite en cada extremo con el trozo que corresponde. Hacia +∞ manda 2x² + 1, que tiende a +∞. Hacia −∞ manda (x² + x)/(x − 1): el numerador tiene mayor grado que el denominador, así que tiende a −∞. Ningún límite es un número finito, luego no hay asíntotas horizontales.
04a · Calcula la asíntota oblicua en −∞Tribunal: cálculo correcto de la asíntota oblicua0,5
Hacia −∞ busca y = mx + n con el trozo racional. La pendiente es m = lím f(x)/x = lím (x² + x)/(x² − x) = 1, y la ordenada, n = lím [f(x) − x] = lím 2x/(x − 1) = 2. La asíntota oblicua es y = x + 2 cuando x → −∞. Hacia +∞ no hay: 2x² + 1 es un polinomio de grado 2 y f(x)/x tiende a +∞.
05b · Deriva el trozo donde está x = 0Tribunal: cálculo correcto de la derivada0,5
Con a = 2 y x = 0 ≤ 3, se usa f(x) = (x² + x)/(x − 2), derivable cerca de 0. Aplica la regla del cociente: el numerador queda (2x + 1)(x − 2) − (x² + x) = 2x² − 3x − 2 − x² − x = x² − 4x − 2.
06b · Calcula la pendiente en x = 0Tribunal: determinación de la pendiente de la recta tangente0,2
La pendiente de la tangente es la derivada en el punto: f′(0) = (0 − 0 − 2)/(0 − 2)² = −2/4 = −1/2.
07b · Escribe la ecuación de la recta tangenteTribunal: expresión de la recta tangente en cualquiera de sus formas0,3
El punto de tangencia tiene f(0) = 0/(−2) = 0, es decir, es (0, 0). Con la ecuación punto-pendiente, y − 0 = −1/2 · (x − 0), así que la tangente es y = −x/2. Cualquier forma equivalente, como x + 2y = 0, vale los mismos puntos.
Error típico
Dar la asíntota oblicua en los dos extremos
Lo que se suele escribir: y = x + 2 en +∞ y en −∞. Lo correcto: y = x + 2 solo en −∞
Se suele calcular la asíntota oblicua de (x² + x)/(x − 1) y darla sin más, como si valiera hacia +∞ y hacia −∞. Pero ese trozo solo se usa para x ≤ 3: hacia +∞ la función es 2x² + 1, que crece como una parábola y no tiene asíntota oblicua. Al calcular m y n, escribe siempre hacia qué extremo tiende x y con qué trozo trabajas, y cierra diciendo que la asíntota es solo cuando x → −∞.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la asíntota oblicua»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 7.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.