PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria · incidencias
Pregunta 4.1: preferencia por la cosmética natural: tamaño de la muestra y proporción muestral con aproximación normal
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- a)n = 556 clientes: con z_(α/2) = 2,51, n ≥ 2,51²·0,83·0,17/0,04² ≈ 555,59 y se redondea hacia arriba.
- b)P(70 ≤ X < 75) ≈ 0,080: X ≈ N(80; 4) y, con corrección por continuidad, P(69,5 ≤ Y ≤ 74,5).
Pregunta 4.1
La cosmética natural se sitúa como un segmento relevante y en expansión en el mercado cosmético español. Una investigación realizada por Susana sugiere que el 83 % de los clientes de una plataforma de comercio electrónico especializada en productos cosméticos, manifiestan preferencia por productos de cosmética natural.
- a)Determine el número mínimo de clientes de la plataforma que Susana debería seleccionar en una muestra aleatoria simple para estimar esta proporción, de manera que, con un nivel de confianza del 98,8 %, el margen de error en la estimación no supere el 4 %. (1,2 p)
- b)Se selecciona una muestra aleatoria de 100 clientes de la plataforma de comercio electrónico para estudiar sus hábitos de compra. Asumiendo que la proporción poblacional es p = 0,8, y utilizando la aproximación por la distribución normal, calcule la probabilidad de que al menos el 70 %, pero menos de 3/4 de los clientes seleccionados en dicha muestra tengan preferencia en sus compras por productos de cosmética natural. (1,3 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Determinación del valor z_(α/2)0,4
- 02a) Aplicación correcta de la fórmula del error0,4
- 03a) Determinación correcta del tamaño muestral necesario0,4
- 04b) Aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,3
- 05b) Definición de la probabilidad pedida0,2
- 06b) Aplicación correcta de la corrección por continuidad0,3
- 07b) Cálculo correcto de la probabilidad pedida0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué área buscas en la tabla?
En el apartado a) busca el z de la tabla que deja el área adecuada a su izquierda, escribe la fórmula del error para una proporción y despeja n.
Pista 2 · ¿Qué cambia al pasar a la normal?
En el apartado b) cuenta con una binomial, comprueba si se puede aproximar por una normal y no olvides que pasas de valores enteros a una variable continua.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Busca el valor crítico en la tablaTribunal: determinación del valor z_(α/2)0,4
Con 1 − α = 0,988 queda α = 0,012 y α/2 = 0,006, así que buscas en la tabla el z con P(Z ≤ z_(α/2)) = 1 − 0,006 = 0,994. La tabla da exactamente 0,9940 en z = 2,51, luego z_(α/2) = 2,51.
02a · Escribe la condición sobre el errorTribunal: aplicación correcta de la fórmula del error0,4
Para una proporción, el error es E = z_(α/2)·√(p(1 − p)/n). Usa la proporción que da el enunciado, p = 0,83, y exige que el margen no supere el 4 %: E ≤ 0,04. Despejando n, la condición es n ≥ z_(α/2)²·p(1 − p)/E².
03a · Despeja n y redondea hacia arribaTribunal: determinación correcta del tamaño muestral necesario0,4
Sustituye: n ≥ 6,3001·0,1411/0,0016 ≈ 555,59. El tamaño de la muestra es un número entero y tiene que cumplir la desigualdad, así que se redondea siempre hacia arriba: hacen falta como mínimo 556 clientes. Con 555 el error superaría el 4 %.
04b · Justifica la aproximación por la normalTribunal: aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,3
Sea X el número de clientes de la muestra que prefieren cosmética natural: X sigue una B(100; 0,8). Como n = 100 es grande, np = 80 > 5 y n(1 − p) = 20 > 5, se puede aproximar por una normal Y con media np = 80 y desviación típica √(100·0,8·0,2) = 4. Escribe las comprobaciones: la justificación es parte de los puntos.
05b · Traduce el enunciado a una probabilidad de XTribunal: definición de la probabilidad pedida0,2
El 70 % de 100 son 70 clientes y 3/4 de 100 son 75. «Al menos el 70 %» incluye el 70 y «menos de 3/4» excluye el 75, así que la probabilidad pedida es P(70 ≤ X < 75), es decir, X entre 70 y 74, ambos incluidos.
06b · Aplica la corrección por continuidadTribunal: aplicación correcta de la corrección por continuidad0,3
Al pasar de una variable discreta a una continua, cada valor entero k ocupa el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5. Los valores 70, 71, …, 74 corresponden a Y entre 69,5 y 74,5. Como X < 75 deja fuera el 75, el extremo superior es 74,5, no 75,5.
07b · Tipifica y calcula con la tablaTribunal: cálculo correcto de la probabilidad pedida0,5
Tipifica: (69,5 − 80)/4 = −2,625 y (74,5 − 80)/4 = −1,375. Por la simetría de la normal, P(−2,625 ≤ Z ≤ −1,375) = P(Z ≤ 2,625) − P(Z ≤ 1,375). Con los z redondeados a 2,63 y 1,38, la tabla da 0,9957 − 0,9162 = 0,0795; interpolando sale 0,0802. En los dos casos, la probabilidad es ≈ 0,080.
Error típico
Incluir el 75 al corregir por continuidad
Lo que se suele escribir: P(69,5 ≤ Y ≤ 75,5). Lo correcto: P(69,5 ≤ Y ≤ 74,5)
«Menos de 3/4» se suele tratar como si incluyera el 75 y se corrige hasta 75,5. Pero X < 75 deja fuera el 75: los valores posibles son 70, 71, …, 74, y en la normal ocupan de 69,5 a 74,5. Con 75,5 se añade una franja que no se pide y la probabilidad sale mayor. Antes de corregir, escribe qué enteros entran y suma o resta 0,5 a los extremos de esa lista.
Cuesta los puntos de «aplicación correcta de la corrección por continuidad»: 0,3 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 8.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.