PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 3.2: polinomio de grado 3 con parámetros: extremo relativo y extremos absolutos en [−4, 2]
En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
- a)b = −3 y d = 32: g′(3) = 27 + 6b − 9 = 0 da b, y g(2) = 10 da d.
- b)máximo absoluto en (−3, 27) y mínimo absoluto en (1, −5), que son también máximo relativo en (−3, 27) y mínimo relativo en (1, −5); en los bordes, mínimo relativo en (−4, 20) y máximo relativo en (2, 2): g′(x) = 0 en x = −3 y x = 1, y g(−4) = 20 y g(2) = 2 quedan entre −5 y 27.
Pregunta 3.2
Dada la función g(x) = x³ + bx² − 9x + d (b y d son números reales).
- a)Calcule qué valores deben tomar b y d para que g(x) tenga un extremo relativo en x = 3 y la gráfica de g(x) pase por el punto (2, 10). (1 p)
- b)Para b = 3 y d = 0, calcule los máximos y mínimos, relativos y absolutos, de la función en el intervalo cerrado [−4, 2]. (1,5 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de b0,5
- 02a) Cálculo correcto de d0,5
- 03b) Cálculo correcto de los valores que anulan la derivada0,3
- 04b) Cálculo correcto de los extremos relativos0,6
- 05b) Cálculo correcto de los extremos absolutos0,6
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué condición da un extremo relativo?
Un extremo relativo en un punto anula allí la derivada, y que la gráfica pase por un punto es sustituir sus coordenadas en g.
Pista 2 · ¿Dónde pueden estar los extremos absolutos?
En el apartado b los parámetros cambian: escribe la función nueva, deriva y, para los absolutos, compara los valores de g en los puntos críticos y en los bordes del intervalo.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Impón el extremo en x = 3 para hallar bTribunal: cálculo correcto de b0,5
Deriva: g′(x) = 3x² + 2bx − 9. Un extremo relativo en x = 3 obliga a que la derivada se anule allí: g′(3) = 27 + 6b − 9 = 18 + 6b = 0, así que b = −3. Comprueba que de verdad hay extremo: con b = −3, g′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1) cambia de signo en x = 3 (es un mínimo).
02a · Haz pasar la gráfica por (2, 10) para hallar dTribunal: cálculo correcto de d0,5
Que la gráfica pase por (2, 10) significa g(2) = 10. Con b = −3: g(2) = 8 − 12 − 18 + d = −22 + d = 10, de donde d = 32. Comprobación: g(x) = x³ − 3x² − 9x + 32 da g(2) = 8 − 12 − 18 + 32 = 10.
03b · Anula la derivada con b = 3 y d = 0Tribunal: cálculo correcto de los valores que anulan la derivada0,3
Con los parámetros nuevos la función es g(x) = x³ + 3x² − 9x y su derivada g′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3(x² + 2x − 3). Iguala a cero: x = (−2 ± √(4 + 12))/2 = (−2 ± 4)/2, es decir, x = −3 y x = 1. Los dos están dentro de [−4, 2], así que cuentan.
04b · Estudia el signo de g′ y clasifica los extremos relativosTribunal: cálculo correcto de los extremos relativos0,6
Factoriza g′(x) = 3(x + 3)(x − 1): es positiva en (−4, −3), negativa en (−3, 1) y positiva en (1, 2). La función crece, decrece y vuelve a crecer, así que en el interior hay un máximo relativo en x = −3, con g(−3) = −27 + 27 + 27 = 27, y un mínimo relativo en x = 1, con g(1) = 1 + 3 − 9 = −5. Como la función está restringida a [−4, 2], los bordes también cuentan: g crece justo a la derecha de x = −4, así que g(−4) = −64 + 48 + 36 = 20 es menor que los valores cercanos y hay un mínimo relativo en (−4, 20); y g crece hasta x = 2, así que g(2) = 8 + 12 − 18 = 2 es mayor que los valores a su izquierda y hay un máximo relativo en (2, 2).
05b · Compara con los bordes del intervalo para los absolutosTribunal: cálculo correcto de los extremos absolutos0,6
g es continua en el intervalo cerrado [−4, 2], así que alcanza un máximo y un mínimo absolutos, y solo pueden estar en los puntos críticos o en los bordes. Evalúa los cuatro: g(−4) = −64 + 48 + 36 = 20, g(−3) = 27, g(1) = −5 y g(2) = 8 + 12 − 18 = 2. El mayor es 27: máximo absoluto en (−3, 27); el menor es −5: mínimo absoluto en (1, −5).
Error típico
Arrastrar al apartado b los parámetros del a
Lo que se suele escribir: g′(x) = 3x² − 6x − 9. Lo correcto: g′(x) = 3x² + 6x − 9
El enunciado del apartado b fija b = 3 y d = 0, que no son los valores que salen en el a. Si sigues trabajando con b = −3, la derivada lleva −6x en lugar de +6x, se anula en x = −1 y x = 3, y todo el apartado sale mal desde los 0,3 puntos de los puntos críticos. Antes de derivar, reescribe la función con los parámetros nuevos: g(x) = x³ + 3x² − 9x.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de los valores que anulan la derivada»: 0,3 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 9.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.