PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Ordinaria · incidencias

Pregunta 2.2: probabilidades con complementarios, unión e intersección de dos sucesos

Tema · Probabilidad
Concepto · Probabilidad condicionada
Opcional · 2.2 o 2.1
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)P(A ∪ B) = 5/6: es 1 − P(Aᶜ ∩ Bᶜ).
b)P(A ∩ B) = 1/6: 2/3 + 1/3 − 5/6.
c)P(Bᶜ | A) = 3/4: (1/2)/(2/3).
d)P(Aᶜ | A ∩ B) = 0: Aᶜ ∩ A = ∅.
e)P(Aᶜ | Bᶜ) = 1/4: (1/6)/(2/3).

Pregunta 2.2

PAU Madrid 2026 · Ordinaria · incidenciasProbabilidad2,5 puntos

Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, siendo P(A) = 2/3, P(B) = 1/3 y P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1/6. Calcule, razonadamente e indicando qué resultados matemáticos se usan, las probabilidades pedidas a continuación. Nota: Aᶜ denota el suceso contrario (o complementario) del suceso A.

a)Calcule P(A ∪ B). (0,5 p)
b)Calcule P(A ∩ B). (0,5 p)
c)Calcule P(Bᶜ | A). (0,5 p)
d)Calcule P(Aᶜ | A ∩ B). (0,5 p)
e)Calcule P(Aᶜ | Bᶜ). (0,5 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Planteamiento correcto de la probabilidad0,3
02a) Cálculo correcto de la probabilidad0,2
03b) Planteamiento correcto de la probabilidad0,3
04b) Cálculo correcto de la probabilidad0,2
05c) Planteamiento correcto de la probabilidad0,3
06c) Cálculo correcto de la probabilidad0,2
07d) Justificación correcta del valor de la probabilidad pedida0,5
08e) Planteamiento correcto de la probabilidad0,3
09e) Cálculo correcto de la probabilidad0,2

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿De qué suceso es contrario el dato?

El dato P(Aᶜ ∩ Bᶜ) es el contrario de un solo suceso formado con A y B: identifícalo y de ahí sale el apartado a), y con él la intersección.

Pista 2 · ¿Cómo se plantea una condicionada?

Para las condicionadas usa P(X | Y) = P(X ∩ Y)/P(Y) y busca en un diagrama de Venn qué zona es cada intersección.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Pasa del dato a la unión con De MorganTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,3
El dato que tienes es «no ocurre ni A ni B». Por la ley de De Morgan, Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ, así que la unión es su suceso contrario: P(A ∪ B) = 1 − P(Aᶜ ∩ Bᶜ). Escribe los dos resultados que usas: De Morgan y la probabilidad del suceso contrario.
$P (A \cup B) = 1 - P ((A \cup B)^{c}) = 1 - P (A^{c} \cap B^{c})$
Tribunal
Planteamiento correcto de la probabilidad: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
02a · Resta del totalTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,2
Sustituye el dato: P(A ∪ B) = 1 − 1/6 = 5/6. Tiene sentido que quede por debajo de 1, porque hay casos (1/6 de ellos) en los que no ocurre ni A ni B.
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad: 0,2 puntos.
0,2de 2,5
03b · Despeja la intersección de la fórmula de la uniónTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,3
La probabilidad de la unión de dos sucesos es P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Ya conoces la unión del apartado a), así que despeja: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B).
$P (A \cap B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)$
Tribunal
Planteamiento correcto de la probabilidad: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
04b · Sustituye los tres valoresTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,2
P(A ∩ B) = 2/3 + 1/3 − 5/6 = 1 − 5/6 = 1/6. Comprobación: las cuatro zonas del diagrama de Venn, 1/6 (A y B), 1/2 (solo A), 1/6 (solo B) y 1/6 (ninguno), suman 1.
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad: 0,2 puntos.
0,2de 2,5
05c · Escribe la condicionada con A ∩ BᶜTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,3
Por la definición de probabilidad condicionada, P(Bᶜ | A) = P(Bᶜ ∩ A)/P(A). La zona «A sin B» es A menos la parte común: P(A ∩ Bᶜ) = P(A) − P(A ∩ B).
$P (B^{c} | A) = \frac{P (A \cap B^{c})}{P (A)} = \frac{P (A) - P (A \cap B)}{P (A)}$
Tribunal
Planteamiento correcto de la probabilidad: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
06c · Calcula el cocienteTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,2
P(A ∩ Bᶜ) = 2/3 − 1/6 = 1/2, así que P(Bᶜ | A) = (1/2)/(2/3) = 3/4. Comprobación: P(B | A) = (1/6)/(2/3) = 1/4 y las dos condicionadas suman 1.
$P (B^{c} | A) = \frac{2 / 3 - 1 / 6}{2 / 3} = \frac{1 / 2}{2 / 3} = \frac{3}{4}$
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad: 0,2 puntos.
0,2de 2,5
07d · Justifica por qué la probabilidad es 0Tribunal: justificación correcta del valor de la probabilidad pedida0,5
Si ha ocurrido A ∩ B, ha ocurrido A, y entonces no puede ocurrir su contrario: Aᶜ ∩ (A ∩ B) = ∅. Como la condición tiene probabilidad P(A ∩ B) = 1/6 > 0, la condicionada está definida y vale P(∅)/P(A ∩ B) = 0. Escribe ese razonamiento: el 0 sin justificar no da los puntos.
$P (A^{c} | A \cap B) = \frac{P (A^{c} \cap A \cap B)}{P (A \cap B)} = \frac{P (⌀)}{1 / 6} = 0$
Tribunal
Justificación correcta del valor de la probabilidad pedida: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
08e · Plantea la condicionada de los dos contrariosTribunal: planteamiento correcto de la probabilidad0,3
Por la definición, P(Aᶜ | Bᶜ) = P(Aᶜ ∩ Bᶜ)/P(Bᶜ). El numerador es el dato del enunciado y el denominador sale del suceso contrario: P(Bᶜ) = 1 − P(B).
$P (A^{c} | B^{c}) = \frac{P (A^{c} \cap B^{c})}{1 - P (B)}$
Tribunal
Planteamiento correcto de la probabilidad: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
09e · DivideTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,2
P(Bᶜ) = 1 − 1/3 = 2/3, así que P(Aᶜ | Bᶜ) = (1/6)/(2/3) = 1/4.
$P (A^{c} | B^{c}) = \frac{1 / 6}{2 / 3} = \frac{1}{4}$
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad: 0,2 puntos.
0,2de 2,5

Error típico

Sumar P(A) + P(B) sin restar la intersección

Lo que se suele escribir: ~~P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1~~. Lo correcto: P(A ∪ B) = 1 − P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 5/6

Como P(A) + P(B) = 2/3 + 1/3 da justo 1, es muy tentador escribir P(A ∪ B) = 1. Eso solo vale si A y B son incompatibles, y aquí no lo son: el dato dice que «ni A ni B» tiene probabilidad 1/6. Parte siempre del dato con De Morgan, P(A ∪ B) = 1 − P(Aᶜ ∩ Bᶜ), y usa la fórmula de la unión para sacar la intersección. El error arrastra b), c) y d); e) sale solo de los datos del enunciado.

Cuesta los puntos de «planteamiento correcto de la probabilidad»: 0,3 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 8.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Ordinaria (incidencias) · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.