PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias

Pregunta 4.1: empleados europeos y de software: probabilidad total y una binomial con n = 10

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a)0,4: con E «ser europeo» y S «desarrollar software», es P(E ∩ Sᶜ) = P(E)·P(Sᶜ | E) = 0,7·4/7.
b)1633689/9765625 ≈ 0,1673 con B(10; 0,4): P(S) = 0,7·3/7 + 0,3·1/3 = 0,4 y, con una plantilla grande frente a 10, X, los que desarrollan software entre los 10, se aproxima por esa binomial y se pide P(X ≤ 2).

Pregunta 4.1

PAU Madrid 2025 · Ordinaria · incidenciasProbabilidad2,5 puntos

En una empresa tecnológica internacional el 70 % de los empleados son europeos, una tercera parte de los empleados no europeos se dedica al desarrollo de software, labor a la que se dedican también tres de cada siete de los empleados europeos. Por el cincuenta aniversario la empresa elige al azar un empleado que será agraciado con un importante paquete de acciones de la empresa. Con estos datos se pide:

a)Calcular la probabilidad de que el empleado agraciado sea uno de los europeos que no realiza desarrollo de software en la empresa. (1 p)
b)En un segundo sorteo se toman al azar 10 empleados distintos y recibirán el mismo paquete de acciones, a repartir, si como mucho 2 de ellos desarrollan software para la empresa. Calcular la probabilidad de que la empresa tenga que dar este segundo paquete de acciones. (1,5 p)

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: planteamiento del apartado b) y resolución del apartado b).

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Planteamiento de la probabilidad a calcular0,5
02a) Resolución del apartado a)0,5
03b) Planteamiento del apartado b)0,75
04b) Resolución del apartado b)0,75

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Cómo organizas los datos del enunciado?

Haz un diagrama de árbol: primera rama, europeo o no europeo; segunda rama, desarrolla software o no. La «tercera parte» y los «tres de cada siete» se refieren a un grupo concreto, así que son probabilidades condicionadas.

Pista 2 · ¿Qué distribución sigue el recuento en b)?

En b) cuentas cuántos de los 10 desarrollan software. Para eso necesitas la probabilidad de que un empleado cualquiera lo haga, sin saber de dónde es.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Define los sucesos y plantea la probabilidad de la intersecciónTribunal: planteamiento de la probabilidad a calcular0,5
Llama E a ser europeo y S a dedicarse al desarrollo de software. El enunciado da P(E) = 0,7 y dos probabilidades condicionadas: P(S | E) = 3/7 y P(S | Eᶜ) = 1/3. Te piden que sea europeo y además no desarrolle software, es decir, la intersección E ∩ Sᶜ, no la condicionada Sᶜ | E. Por la regla del producto, P(E ∩ Sᶜ) = P(E)·P(Sᶜ | E).
$P (E \cap S^{c}) = P (E) P (S^{c} | E)$
Tribunal
Planteamiento de la probabilidad a calcular: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
02a · Calcula la probabilidadTribunal: resolución del apartado a)0,5
Entre los europeos, los que no desarrollan software son P(Sᶜ | E) = 1 − 3/7 = 4/7. Por tanto, P(E ∩ Sᶜ) = 0,7·4/7 = 0,4. Comprueba que es menor que P(E) = 0,7, como debe ser: los europeos sin software son solo una parte de los europeos.
$P (E \cap S^{c}) = 0,7 \cdot \frac{4}{7} = 0,4$
Tribunal
Resolución: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
03b · Halla P(S) y plantea el modelo binomial con n = 10Tribunal: planteamiento del apartado b)0,75
Los 10 empleados salen de toda la plantilla, así que la probabilidad de que uno cualquiera desarrolle software se obtiene por el teorema de la probabilidad total: P(S) = 0,7·3/7 + 0,3·1/3 = 0,3 + 0,1 = 0,4. Sea X el número de los 10 que desarrollan software; como son 10 empleados distintos, se eligen sin reemplazo y las elecciones no son independientes. Si la plantilla tiene N empleados, 2N/5 de ellos desarrolladores, X es hipergeométrica, y sin conocer N no se puede calcular la probabilidad exacta. Con la hipótesis de que la plantilla es grande frente a 10, cada elección apenas cambia la proporción 0,4 y se aproxima X por una B(10; 0,4). El segundo paquete se entrega si como mucho 2 desarrollan software: te piden P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).
$P (S) = P (E) P (S | E) + P (E^{c}) P (S | E^{c}) = 0,7 \cdot \frac{3}{7} + 0,3 \cdot \frac{1}{3} = 0,4$
$P (X \leq 2) \approx \sum_{k = 0}^{2} (\binom{10}{k}) {0,4}^{k} {0,6}^{10 - k}$
Tribunal
Planteamiento: 0,75 puntos.
0,75de 2,5
04b · Calcula P(X ≤ 2) con la binomialTribunal: resolución del apartado b)0,75
Con la binomial, los tres términos son P(X = 0) = 0,6¹⁰ ≈ 0,0060, P(X = 1) = 10·0,4·0,6⁹ ≈ 0,0403 y P(X = 2) = 45·0,4²·0,6⁸ ≈ 0,1209. Sumando, P(X ≤ 2) ≈ 1633689/9765625 ≈ 0,1673. Es una aproximación: con una plantilla pequeña la hipergeométrica da otra cosa (con 20 empleados, 8 de ellos desarrolladores, sale 713/8398 ≈ 0,0849), pero se acerca a 0,1673 al crecer la plantilla (con 1000 empleados, ≈ 0,1660). Que sea pequeña tiene sentido: la media de la binomial es 10·0,4 = 4, así que lo esperable es que desarrollen software unos 4 de los 10, no 2 o menos.
$P (X \leq 2) \approx {0,6}^{10} + 10 \cdot 0,4 \cdot {0,6}^{9} + 45 \cdot {0,4}^{2} \cdot {0,6}^{8} = \frac{1633689}{9765625} \approx 0,1673$
Tribunal
Resolución: 0,75 puntos.
0,75de 2,5

Error típico

Tomar una proporción condicionada como p de la binomial

Lo que se suele escribir: ~~X ~ B(10; 3/7)~~. Lo correcto: X ≈ B(10; 0,4)

En b) se suele tomar como probabilidad de éxito de la binomial 3/7 o 1/3, que son proporciones dentro de un solo grupo, cuando los 10 empleados se eligen entre toda la plantilla. La p con la que se aproxima X es la de que un empleado cualquiera desarrolle software, por probabilidad total: P(S) = 0,7·3/7 + 0,3·1/3 = 0,4. Antes de escribir B(n; p), pregúntate de qué población sale cada elegido.

Cuesta los puntos de «planteamiento del apartado b)»: 0,75 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.