PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 1.1: discusión y resolución de un sistema con el parámetro λ en dos coeficientes
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- a)Compatible determinado si λ ≠ 2 y λ ≠ −2, compatible indeterminado si λ = 2, incompatible si λ = −2 (Rouché).
- b)(x, y, z) = (−5 − 7t, −12 − 11t, t), t ∈ ℝ: la tercera ecuación es la suma de las otras dos, se toma z = t y se resuelven las dos primeras.
Pregunta 1.1
Sea el siguiente sistema de ecuaciones, formado por λx − y + 3z = 2, 3x − 2y − z = 9 y 5x − 3y + λz = 11. Se pide:
- a)Decida en función de los valores del parámetro real λ en qué casos el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. (1,5 p)
- b)Resuelva el sistema en el caso λ = 2. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Caso compatible determinado correctamente determinado0,5
- 02a) Caso compatible indeterminado correctamente determinado0,5
- 03a) Caso incompatible correctamente determinado0,5
- 04b) Planteamiento del apartado b): el sistema con λ = 20,25
- 05b) Cálculo correcto de la solución0,75
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué valores de λ hay que estudiar aparte?
Calcula el determinante de la matriz de coeficientes y busca los valores de λ que lo anulan; en cada uno de ellos compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.
Pista 2 · ¿Sobra alguna ecuación con λ = 2?
Antes de resolver el apartado b), mira cómo se relacionan las tres ecuaciones: si una es combinación de las otras, quítala y deja una incógnita como parámetro.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula |A| y halla el caso compatible determinadoTribunal: caso compatible determinado correctamente determinado0,5
Desarrollando el determinante de la matriz de coeficientes por la primera fila sale |A| = λ(−2λ − 3) + (3λ + 5) + 3·1 = −2λ² + 8 = −2(λ − 2)(λ + 2), que solo se anula en λ = 2 y λ = −2. Para cualquier otro λ, rg A = 3; la ampliada no puede tener rango mayor que 3, así que rg A = rg A* = 3 = número de incógnitas y, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.
02a · Estudia los rangos para λ = 2Tribunal: caso compatible indeterminado correctamente determinado0,5
El menor formado por las columnas de x e y en las filas segunda y tercera no depende de λ: |3 −2; 5 −3| = −9 + 10 = 1 ≠ 0, así que rg A = 2. Con λ = 2, la tercera fila de la ampliada, (5, −3, 2 | 11), es la suma de las dos primeras, (2, −1, 3 | 2) + (3, −2, −1 | 9), luego rg A* = 2 también. Como rg A = rg A* = 2 < 3 incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
03a · Estudia los rangos para λ = −2Tribunal: caso incompatible correctamente determinado0,5
El mismo menor de orden 2 vale 1, así que rg A = 2. En la ampliada, el menor formado por las columnas de x, de y y de los términos independientes vale −20 ≠ 0, de modo que rg A* = 3. Como rg A = 2 ≠ rg A* = 3, el sistema es incompatible: no basta con que |A| = 0 para hablar de infinitas soluciones.
04b · Escribe el sistema con λ = 2 y quita la ecuación sobranteTribunal: planteamiento del apartado b): el sistema con λ = 20,25
Con λ = 2 el sistema es 2x − y + 3z = 2, 3x − 2y − z = 9 y 5x − 3y + 2z = 11. Como has visto en a), la tercera ecuación es la suma de las dos primeras y se puede eliminar. Quedan dos ecuaciones independientes con tres incógnitas, así que una hace de parámetro: z = t.
05b · Resuelve en función de z = tTribunal: cálculo correcto de la solución0,75
Pasa z al segundo miembro: 2x − y = 2 − 3t y 3x − 2y = 9 + t. Multiplica la primera por 2 y réstale la segunda: x = 4 − 6t − 9 − t = −5 − 7t. Entonces y = 2x − 2 + 3t = −12 − 11t. Comprueba con t = 0, el punto (−5, −12, 0): 2·(−5) + 12 = 2, −15 + 24 = 9 y −25 + 36 = 11.
Error típico
Concluir infinitas soluciones solo porque |A| = 0
Lo que se suele escribir: λ = −2: compatible indeterminado. Lo correcto: λ = −2: incompatible
Dar por hecho que, si |A| = 0, el sistema es compatible indeterminado. Para λ = −2 el determinante se anula, pero la ampliada tiene un menor de orden 3 que vale −20, así que su rango es 3 y el sistema no tiene solución. En cada valor que anula |A| calcula los dos rangos y aplica Rouché-Frobenius: así no pierdes el medio punto del caso incompatible.
Cuesta los puntos de «caso incompatible correctamente determinado»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 1 eliges una de dos opciones: la 1.1 o la 1.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.