PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 3: viga de refuerzo entre dos vigas: puntos medios, cosenos y perpendicular común
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- a)Extremos (1, 4, −1) y (4, −6, 7), cos α₁ = 2√346/346 ≈ 0,1075 y cos α₂ = √1730/1730 ≈ 0,0240, por puntos medios.
- b)Extremos (1, 3, −2) y (4, −6, 7): perpendicular común a las dos vigas.
Pregunta 3
Sara está revisando una estructura de vigas metálicas. Para ello, utiliza un programa de cálculo estructural que lleva integrado un módulo de diseño asistido por ordenador. El programa trata las vigas como segmentos entre dos puntos. Cuando dos segmentos comparten algún punto, se fijan simulando una soldadura. Para introducir un segmento basta indicar las coordenadas de los extremos del mismo. Sara se ha dado cuenta de que una parte de la estructura no es lo suficientemente resistente. En concreto, ha encontrado dos vigas, no soldadas entre sí, que deben reforzarse, por lo que decide añadir otra viga que, soldándola a ambas, solucione el problema. Las dos vigas en cuestión son V₁, cuyos extremos son los puntos A(1, 2, −3) y B(1, 6, 1), y V₂, cuyos extremos son los puntos C(−2, −8, 7) y D(10, −4, 7).
- a)Como primera solución, Sara decide que la viga añadida esté soldada a los puntos medios de V₁ y V₂. Calcule las coordenadas de los extremos de la viga añadida y los cosenos de los ángulos que forma dicha viga con V₁ y con V₂. (1,25 p)
- b)Haciendo un análisis más detallado, Sara encuentra que la resistencia es mayor si la viga añadida es perpendicular tanto a V₁ como a V₂. Calcule, en el caso de que sea posible, las coordenadas de los extremos de la viga añadida si se adopta esta solución. (1,25 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Planteamiento del apartado a)0,5
- 02a) Cálculo de los extremos de la viga añadida (puntos medios de V₁ y V₂)0,25
- 03a) Cálculo del coseno del ángulo que forma la viga añadida con V₁0,25
- 04a) Cálculo del coseno del ángulo que forma la viga añadida con V₂0,25
- 05b) Planteamiento del apartado b): viga perpendicular a V₁ y a V₂0,5
- 06b) Cálculo de los extremos de la viga añadida0,75
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué vectores forman el ángulo?
El punto medio de un segmento es la media de las coordenadas de sus extremos. El ángulo entre dos rectas se calcula con sus vectores directores y el producto escalar, en valor absoluto.
Pista 2 · ¿Cómo encontrar la perpendicular común?
Toma un punto genérico de cada viga, cada uno con su propio parámetro, e impón que el vector que los une sea perpendicular a los dos vectores directores. Después comprueba que los puntos caen dentro de los segmentos.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Plantea los extremos como puntos medios y el ángulo con vectores directoresTribunal: planteamiento del apartado a)0,5
Los extremos de la viga añadida son el punto medio M₁ de AB y el punto medio M₂ de CD, es decir, la media de las coordenadas de los extremos de cada viga. El ángulo entre dos vigas es el ángulo entre sus rectas, y su coseno se calcula con los vectores directores: cos α = |u·v|/(|u|·|v|). El valor absoluto da el ángulo agudo, que es el ángulo entre rectas. Como vectores directores sirven AB, CD y M₁M₂, o cualquier múltiplo suyo.
02a · Calcula los puntos medios de V₁ y V₂Tribunal: cálculo de los extremos de la viga añadida (puntos medios de V₁ y V₂)0,25
M₁ = ((1 + 1)/2, (2 + 6)/2, (−3 + 1)/2) = (1, 4, −1) y M₂ = ((−2 + 10)/2, (−8 − 4)/2, (7 + 7)/2) = (4, −6, 7). La viga añadida va de (1, 4, −1) a (4, −6, 7), y su vector es M₁M₂ = (3, −10, 8), de módulo √173.
03a · Calcula los cosenos de los ángulos con V₁ y con V₂Tribunal: cálculo del coseno del ángulo que forma la viga añadida con V₁ · cálculo del coseno del ángulo que forma la viga añadida con V₂0,5
Simplifica los directores: AB = (0, 4, 4) es múltiplo de (0, 1, 1) y CD = (12, 4, 0) lo es de (3, 1, 0). Con V₁, (0, 1, 1)·(3, −10, 8) = −2, así que cos α₁ = 2/(√2·√173) = 2/√346 = 2√346/346 ≈ 0,1075. Con V₂, (3, 1, 0)·(3, −10, 8) = −1, así que cos α₂ = 1/(√10·√173) = √1730/1730 ≈ 0,0240. Los dos ángulos son casi rectos.
04b · Plantea la perpendicular común con un parámetro en cada vigaTribunal: planteamiento del apartado b): viga perpendicular a V₁ y a V₂0,5
Las rectas de V₁ y V₂ se cruzan: sus direcciones (0, 1, 1) y (3, 1, 0) no son paralelas y el determinante de AC = (−3, −10, 10), (0, 1, 1) y (3, 1, 0) vale −57 ≠ 0. Así que hay una única recta que corta a las dos y es perpendicular a ambas. Toma un punto genérico de cada recta, cada uno con su parámetro: P = (1, 2 + λ, −3 + λ) y Q = (−2 + 3μ, −8 + μ, 7). El vector PQ = (−3 + 3μ, −10 + μ − λ, 10 − λ) tiene que ser perpendicular a (0, 1, 1) y a (3, 1, 0).
05b · Resuelve el sistema y comprueba que los extremos están en las vigasTribunal: cálculo de los extremos de la viga añadida0,75
Las dos condiciones dan μ − 2λ = 0 y 10μ − λ − 19 = 0. De la primera, μ = 2λ; en la segunda, 19λ = 19, así que λ = 1 y μ = 2. Los extremos son (1, 3, −2) y (4, −6, 7). Están dentro de las vigas: en V₁, A es λ = 0 y B es λ = 4, y λ = 1 queda entre ellos; en V₂, C es μ = 0 y D es μ = 4, y μ = 2 también (es el punto medio de V₂). Comprueba: PQ = (3, −9, 9) da 0 al multiplicar por (0, 1, 1) y por (3, 1, 0).
Error típico
Dar un coseno negativo entre dos rectas
Lo que se suele escribir: cos α₁ = −2√346/346. Lo correcto: cos α₁ = 2√346/346
Dar un coseno negativo para el ángulo entre dos rectas. El producto escalar de los directores puede salir negativo (aquí, −2 con V₁ y −1 con V₂), pero el ángulo entre dos rectas es el agudo y su coseno no es negativo. Sin valor absoluto calculas el coseno del ángulo obtuso, que además cambia según el sentido en que hayas tomado los vectores. Escribe el valor absoluto en la fórmula desde el planteamiento.
Cuesta los puntos de «cálculo del coseno del ángulo que forma la viga añadida con V₁»: 0,25 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.