PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 1.2: matrices diagonales D que hacen estocásticas a DA y a BD
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- a)D = diag(1, 2 − t, t) con 0 ≤ t ≤ 2: que cada columna de DA sume 1 da x = 1 e y + z = 2, y ningún elemento puede ser negativo.
- b)No: la única es D = I, porque BD multiplica cada columna de B por su dⱼ y esa columna pasa a sumar dⱼ.
Pregunta 1.2
Una matriz cuadrada se dice estocástica si todos sus elementos son no negativos y la suma de los elementos de cada columna de la matriz es igual a 1. Se considera la matriz estocástica A que se muestra en la tabla siguiente.
- a)Consideremos la matriz estocástica A. Calcule todas las matrices diagonales D, con filas (x, 0, 0), (0, y, 0) y (0, 0, z), tales que DA sea una matriz estocástica. (1,5 p)
- b)Sea B una matriz estocástica de orden 3. ¿Existe alguna matriz diagonal D, distinta de la identidad, de tal forma que BD sea estocástica? (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Planteamiento del sistema lineal que impone que DA sea estocástica0,75
- 02a) Resolución del sistema0,25
- 03a) Reconocer las soluciones del sistema apropiadas (elementos no negativos)0,5
- 04b) Planteamiento del apartado b)0,5
- 05b) Resolución del apartado b)0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué hace D al multiplicar por la izquierda?
Escribe DA: una matriz diagonal multiplicada por la izquierda escala las filas. Después impón la definición completa de matriz estocástica, no solo la parte de las sumas.
Pista 2 · ¿Y si D multiplica por la derecha?
En b) la diagonal multiplica por la derecha: piensa qué le pasa a cada columna de B y a lo que suma.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Escribe DA y plantea las sumas por columnasTribunal: planteamiento del sistema lineal que impone que DA sea estocástica0,75
Multiplicar por una matriz diagonal por la izquierda escala las filas: las filas de DA son las de A multiplicadas por x, y y z. Que cada columna sume 1 da (x + y + z)/3 = 1, (y + z)/2 = 1 y x/2 + y/4 + z/4 = 1. Quitando denominadores: x + y + z = 3, y + z = 2 y 2x + y + z = 4.
02a · Resuelve el sistemaTribunal: resolución del sistema0,25
Restando la segunda ecuación a la primera sale x = 1. Al sustituirlo, la tercera queda y + z = 2, la misma que la segunda: el sistema es compatible indeterminado. Con z = t, y = 2 − t, así que D = diag(1, 2 − t, t) con t ∈ ℝ cumple que las columnas de DA suman 1.
03a · Quédate con las soluciones sin elementos negativosTribunal: reconocer las soluciones del sistema apropiadas (elementos no negativos)0,5
El sistema solo impone que las columnas sumen 1; la definición de estocástica exige además que ningún elemento sea negativo. Las filas de A son no negativas y cada una tiene algún elemento positivo, así que hace falta 2 − t ≥ 0 y t ≥ 0, es decir, 0 ≤ t ≤ 2. Con t = 3, por ejemplo, la segunda fila de DA sería (−1/3, −1/2, −1/4) y DA ya no sería estocástica. Con t = 1 sale D = I y DA = A, como era de esperar.
04b · Mira qué hace D al multiplicar B por la derechaTribunal: planteamiento del apartado b)0,5
Si D = diag(d₁, d₂, d₃), multiplicar por la derecha escala las columnas: la columna j de BD es la columna j de B multiplicada por dⱼ. Como cada columna de B suma 1, la columna j de BD suma dⱼ·1 = dⱼ.
05b · Concluye que solo sirve la identidadTribunal: resolución del apartado b)0,5
Para que BD sea estocástica cada columna tiene que sumar 1, así que d₁ = d₂ = d₃ = 1 y D = I; en ese caso BD = B, que sí es estocástica. Por tanto, no existe ninguna matriz diagonal distinta de la identidad que lo consiga, sea cual sea B. Fíjate en la diferencia con a): allí D escalaba filas y había infinitas soluciones.
Error típico
Olvidar que los elementos no pueden ser negativos
Lo que se suele escribir: D = diag(1, 2 − t, t), t ∈ ℝ. Lo correcto: D = diag(1, 2 − t, t), 0 ≤ t ≤ 2
Quedarse en la solución del sistema y dar como respuesta todas las D = diag(1, 2 − t, t) con t real. El sistema solo garantiza que las columnas sumen 1; si t es negativo o mayor que 2, alguna fila de DA tiene elementos negativos y DA no es estocástica. Vuelve siempre a la definición completa: aquí cuesta el medio punto de reconocer las soluciones apropiadas.
Cuesta los puntos de «reconocer las soluciones del sistema apropiadas (elementos no negativos)»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 1 eliges una de dos opciones: la 1.2 o la 1.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.