PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 2.1: dominio, paridad, límites en −∞ y recta tangente de f(x) = √(x² + 3x)
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- a)Dom f = (−∞, −3] ∪ [0, +∞), asimétrico: ni par ni impar.
- b)lím_(x→−∞) f(x)/x = −1 y lím_(x→−∞) (f(x) + x) = −3/2, con √x² = −x.
- c)y = (5/4)(x − 1) + 2, pues f(1) = 2 y f′(1) = 5/4.
Pregunta 2.1
Para la función f(x) = √(x² + 3x), se pide:
- a)Determinar su dominio y estudiar su paridad. (0,75 p)
- b)Calcular los límites lím_(x→−∞) f(x)/x y lím_(x→−∞) (f(x) + x). (1 p)
- c)Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) para x = 1. (0,75 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo del dominio0,5
- 02a) Determinación correcta de la paridad0,25
- 03b) Límite lím_(x→−∞) f(x)/x0,5
- 04b) Límite lím_(x→−∞) (f(x) + x)0,5
- 05c) Planteamiento de la recta tangente en x = 10,25
- 06c) Resolución del apartado c)0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Dónde tiene sentido la raíz?
Una raíz cuadrada solo existe donde el radicando no es negativo: factoriza x² + 3x y estudia su signo. Para la paridad, mira primero si el dominio es simétrico respecto de 0.
Pista 2 · ¿Cómo sacar x de la raíz cuando x → −∞?
Cuando x → −∞, x es negativo: al sacar x² de la raíz, recuerda que √(x²) = |x|. Si una suma con raíz da ∞ − ∞, multiplica y divide por el conjugado.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Halla dónde el radicando no es negativoTribunal: cálculo del dominio0,5
La raíz cuadrada exige x² + 3x ≥ 0. Factoriza: x² + 3x = x(x + 3), que se anula en x = 0 y en x = −3. El producto es positivo fuera de esas raíces y negativo entre ellas (prueba x = −1: (−1)·2 = −2 < 0). Por tanto, Dom f = (−∞, −3] ∪ [0, +∞), con los extremos incluidos porque √0 = 0.
02a · Estudia la paridad de fTribunal: determinación correcta de la paridad0,25
Para que f sea par o impar, el dominio tiene que ser simétrico respecto de 0, y este no lo es: x = 1 está en el dominio y x = −1 no. Además, f(−x) = √(x² − 3x) no coincide ni con f(x) ni con −f(x): por ejemplo, f(−4) = √4 = 2 y f(4) = √28. La función no es ni par ni impar.
03b · Calcula lím_(x→−∞) f(x)/x sacando x de la raízTribunal: límite lím_(x→−∞) f(x)/x0,5
Para x < 0, √(x²) = |x| = −x, así que √(x² + 3x) = −x·√(1 + 3/x). Entonces f(x)/x = −√(1 + 3/x), y como 3/x → 0, el límite vale −√1 = −1. Tiene sentido: para x muy negativo, f(x) es positiva y x negativo, así que el cociente tiene que ser negativo.
04b · Calcula lím_(x→−∞) (f(x) + x) con el conjugadoTribunal: límite lím_(x→−∞) (f(x) + x)0,5
Es una indeterminación ∞ − ∞: f(x) → +∞ y x → −∞. Multiplica y divide por el conjugado √(x² + 3x) − x: el numerador queda x² + 3x − x² = 3x. Divide numerador y denominador entre x (negativo): el denominador pasa a −√(1 + 3/x) − 1, que tiende a −2. El límite es 3/(−2) = −3/2.
05c · Plantea la recta tangente en x = 1Tribunal: planteamiento de la recta tangente en x = 10,25
La recta tangente en x = 1 es y − f(1) = f′(1)(x − 1): necesitas el punto, f(1), y la pendiente, f′(1). Como x = 1 está en el interior del dominio y allí el radicando es positivo, f es derivable en x = 1.
06c · Calcula f(1) y f′(1) y escribe la rectaTribunal: resolución del apartado c)0,5
f(1) = √4 = 2. Por la regla de la cadena, f′(x) = (2x + 3)/(2√(x² + 3x)), de modo que f′(1) = 5/(2·2) = 5/4. La tangente es y = (5/4)(x − 1) + 2, es decir, y = (5/4)x + 3/4. Comprueba: en x = 1 da 5/4 + 3/4 = 2 = f(1).
Error típico
Sacar x de la raíz olvidando que es negativo
Lo que se suele escribir: √(x² + 3x) = x·√(1 + 3/x). Lo correcto: √(x² + 3x) = −x·√(1 + 3/x)
Sacar x de la raíz como si fuera positivo. Cuando x → −∞, x es negativo y √(x²) = |x| = −x, no x. Si se olvida el signo, el primer límite sale 1 en lugar de −1, y en el segundo el denominador del conjugado parece tender a 0. Antes de sacar nada de una raíz, mira el signo de x: un cociente entre algo positivo y algo negativo no puede tender a 1.
Cuesta los puntos de «límite lím_(x→−∞) f(x)/x»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.