PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 2.2: primitiva de (x³ − x²)/(x² + 9) que cumple F(0) = ln 3
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F(x) = x²/2 − x − (9/2)·ln(x² + 9) + 3·arctg(x/3) + 10·ln 3. Al dividir, f(x) = x − 1 + (9 − 9x)/(x² + 9); el resto da un logaritmo y una arcotangente, y F(0) = −9·ln 3 + C = ln 3 fija C = 10·ln 3.
Pregunta 2.2
Se considera la función f(x) = (x³ − x²)/(x² + 9). Calcule la primitiva F(x) de f(x) tal que F(0) = ln 3.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: resolución de la integral de tipo logaritmo y resolución de la integral de tipo arcotangente.
- 01Descomposición del integrando en fracciones simples0,25
- 02Resolución de la integral del polinomio cociente0,25
- 03Resolución de la integral de tipo logaritmo0,75
- 04Resolución de la integral de tipo arcotangente0,75
- 05Cálculo de la primitiva utilizando F(0) = ln 30,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué hacer antes de integrar?
El grado del numerador es mayor que el del denominador: antes de integrar, divide los polinomios y escribe f como cociente más resto entre divisor.
Pista 2 · ¿Cómo integrar el resto de la división?
x² + 9 no tiene raíces reales: separa el resto en una fracción con x en el numerador y otra con una constante. Al final, impón F(0) = ln 3 para fijar la constante.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01Divide el numerador entre el denominadorTribunal: descomposición del integrando en fracciones simples0,25
El numerador tiene grado 3 y el denominador grado 2, así que primero se divide: x³ − x² = (x² + 9)(x − 1) + (9 − 9x). Por tanto, f(x) = x − 1 + (9 − 9x)/(x² + 9). Como x² + 9 no tiene raíces reales, la fracción que queda no se descompone más. Comprueba: (x² + 9)(x − 1) = x³ − x² + 9x − 9, y al sumar 9 − 9x vuelve a salir x³ − x².
02Integra el polinomio cocienteTribunal: resolución de la integral del polinomio cociente0,25
∫(x − 1) dx = x²/2 − x. Las constantes de integración de cada parte se reúnen en una sola C al final.
03Integra la parte de tipo logaritmoTribunal: resolución de la integral de tipo logaritmo0,75
Separa el resto en dos fracciones: (9 − 9x)/(x² + 9) = 9/(x² + 9) − 9x/(x² + 9). En la que lleva x, la derivada de x² + 9 es 2x, así que ajusta la constante: −9x/(x² + 9) = −(9/2)·2x/(x² + 9). Su integral es −(9/2)·ln(x² + 9), sin valor absoluto porque x² + 9 > 0.
04Integra la parte de tipo arcotangenteTribunal: resolución de la integral de tipo arcotangente0,75
Queda ∫ 9/(x² + 9) dx. Divide numerador y denominador entre 9 para llegar a la forma 1/(1 + t²): 9/(x² + 9) = 1/(1 + (x/3)²). Con t = x/3 es dx = 3 dt, y la integral vale 3·arctg(x/3). Comprueba derivando: 3·(1/3)/(1 + x²/9) = 9/(x² + 9).
05Usa F(0) = ln 3 para fijar la constanteTribunal: cálculo de la primitiva utilizando F(0) = ln 30,5
Reuniendo todo, F(x) = x²/2 − x − (9/2)·ln(x² + 9) + 3·arctg(x/3) + C. En x = 0, F(0) = −(9/2)·ln 9 + C = −9·ln 3 + C, porque ln 9 = 2·ln 3 y arctg 0 = 0. Igualando a ln 3 sale C = 10·ln 3, y la primitiva pedida es F(x) = x²/2 − x − (9/2)·ln(x² + 9) + 3·arctg(x/3) + 10·ln 3.
Error típico
Equivocar el coeficiente de la arcotangente
Lo que se suele escribir: ∫ 9/(x² + 9) dx = 9·arctg(x/3). Lo correcto: ∫ 9/(x² + 9) dx = 3·arctg(x/3)
Equivocar el coeficiente de la arcotangente. Para integrar 9/(x² + 9) hay que reescribirla como 1/(1 + (x/3)²), y al integrar respecto de x aparece un factor 3, porque la derivada de x/3 es 1/3. Es frecuente dejar delante el 9 del numerador o no poner ningún factor: la primitiva ya no cumple F′ = f y se pierde esa parte. Compruébalo siempre derivando: la derivada de 3·arctg(x/3) es 9/(x² + 9).
Cuesta los puntos de «resolución de la integral de tipo arcotangente»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.