PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 2: paridad, extremos relativos e integral de (x² + 1)/(|x| + 1)
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- a)f es par, con máximo relativo en (0, 1) y mínimos relativos en (±(√2 − 1), 2√2 − 2): f(−x) = f(x) y f′ cambia de signo ahí.
- b)2 ln 2 − 1/2 ≈ 0,886: por paridad es ∫₀¹ (x − 1 + 2/(x + 1)) dx.
Pregunta 2
Dada f(x) = (x² + 1)/(|x| + 1), se pide:
- a)Analizar la paridad y los extremos relativos de f(x). (1 p)
- b)Hallar ∫₋₁⁰ f(x) dx. (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uah.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Paridad0,5
- 02a) Extremos relativos0,5
- 03b) Planteamiento0,3
- 04b) Cálculo de la primitiva0,5
- 05b) Regla de Barrow0,2
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo derivas una función con valor absoluto?
En a), compara f(−x) con f(x). Para derivar, escribe f sin valor absoluto por separado para x > 0 y para x < 0, y no olvides estudiar qué pasa en x = 0.
Pista 2 · ¿Qué vale |x| en el intervalo de integración?
En b), fíjate en el signo de x dentro del intervalo de integración y, si el grado del numerador es mayor, divide antes de integrar.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Comprueba que f(−x) = f(x)Tribunal: paridad0,5
Sustituye x por −x: f(−x) = ((−x)² + 1)/(|−x| + 1) = (x² + 1)/(|x| + 1) = f(x) para todo x real, porque (−x)² = x² y |−x| = |x|. Así que f es par y su gráfica es simétrica respecto del eje OY. No es impar: f(1) = 1 y f(−1) = 1, no −1.
02a · Deriva a trozos y estudia el signo de f′Tribunal: extremos relativos0,5
Para x > 0, f(x) = (x² + 1)/(x + 1) y f′(x) = (x² + 2x − 1)/(x + 1)², que se anula en x = √2 − 1 (la otra raíz, −1 − √2, es negativa). f′ < 0 en (0, √2 − 1) y f′ > 0 después: mínimo en x = √2 − 1, con f(√2 − 1) = 2√2 − 2. Por la paridad, hay otro mínimo en x = 1 − √2. En x = 0, f no es derivable (las derivadas laterales valen 1 y −1), pero f crece justo a su izquierda y decrece justo a su derecha: máximo relativo en (0, 1).
03b · Quita el valor absoluto antes de integrarTribunal: planteamiento0,3
En [−1, 0] la x es negativa o nula, así que |x| = −x y el denominador es 1 − x. Más cómodo aún: como f es par, la integral de −1 a 0 es igual a la de 0 a 1, donde |x| = x. Te queda una integral racional sin valor absoluto.
04b · Divide los polinomios y calcula la primitivaTribunal: cálculo de la primitiva0,5
El grado del numerador es mayor que el del denominador, así que divide: x² + 1 = (x + 1)(x − 1) + 2. Entonces (x² + 1)/(x + 1) = x − 1 + 2/(x + 1), y una primitiva es x²/2 − x + 2 ln(x + 1). Compruébala derivando: x − 1 + 2/(x + 1).
05b · Aplica la regla de BarrowTribunal: regla de Barrow0,2
Evalúa la primitiva entre 0 y 1: (1/2 − 1 + 2 ln 2) − (0 − 0 + 2 ln 1) = 2 ln 2 − 1/2 ≈ 0,886. Tiene sentido: f vale entre 2√2 − 2 ≈ 0,83 y 1 en ese intervalo, y la longitud es 1.
Error típico
Quitar el valor absoluto sin mirar el signo de x
Lo que se suele escribir: |x| + 1 = x + 1 en [−1, 0]. Lo correcto: |x| + 1 = 1 − x en [−1, 0]
Al integrar en [−1, 0] es habitual quitar el valor absoluto sin mirar el signo de x y escribir |x| + 1 = x + 1. En ese intervalo x ≤ 0, así que |x| = −x y el denominador es 1 − x; con x + 1 el integrando ni siquiera está definido en x = −1. Antes de integrar, decide el signo de x en el intervalo o usa la paridad para pasar a [0, 1].
Cuesta los puntos de «planteamiento»: 0,3 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2026 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uah.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Publicado en uah.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.