PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 1: dron: distancia a un plano, plano de vuelo y recta o ángulo
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- a)d(A, π) = √6 ≈ 2,45 y vuela en x + y + 2z − 5 = 0.
- b1)(x, y, z) = (1, 0, 2) + λ(0, −2, 1), de A a B = (1, −2, 3), sobre C.
- b2)α = arcsen(√39/13) ≈ 28,71°: sen α sale de CA′ y la normal de π, con A′ = (1/2, −1/2, 1) a medio camino de π.
Pregunta 1
Un equipo de ingenieros está trabajando en un nuevo modelo de dron para tomar fotografías del estado del tráfico. Elegido un sistema de coordenadas, el dron tiene A(1, 0, 2) como punto de partida y un cierto tramo de autopista está contenido en el plano π: x + y + 2z + 1 = 0. Las fotografías se deben tomar perpendicularmente al plano π. Se toma el punto C(0, −3, 1) de π para calibrar el dron.
- a)Determine la distancia del dron en el punto de partida A al plano π y halle una ecuación del plano en el que el dron vuela manteniendo en todo momento la misma distancia al plano π. Este plano recibe el nombre de plano de vuelo. (1 p)
- b)Responda solo a uno de los dos apartados siguientes. (1 p)
- b1)El dron se mueve en línea recta en el plano de vuelo desde el punto de partida A al punto más cercano a C. Halle una ecuación de la recta que contiene la trayectoria lineal que recorre el dron para fotografiar C. (1 p)
- b2)La fotografía obtenida de C a esa distancia no tiene buena definición. Se decide acercar el dron desde el punto de partida A descendiendo perpendicularmente al plano π para situarse en A′, a la mitad de la distancia original. Calcule el ángulo formado por el plano π y la recta que pasa por C y A′. (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uah.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Distancia del punto de partida A al plano π0,5
- 02a) Ecuación del plano de vuelo0,5
- 03b1) Planteamiento0,5
- 04b1) Resolución0,5
- 05b2) Planteamiento0,5
- 06b2) Resolución0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué comparten π y el plano de vuelo?
En a), la distancia de un punto a un plano se calcula sustituyendo el punto en la ecuación del plano; un plano que se mantiene a la misma distancia de π tiene que ser paralelo a él.
Pista 2 · En b), ¿qué vector manda?
En b), el vector normal de π lo es todo: da la dirección de la perpendicular por C y la del descenso del dron, y sirve para medir el ángulo con el plano.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula la distancia de A al plano πTribunal: distancia del punto de partida A al plano π0,5
Sustituye A(1, 0, 2) en la ecuación de π y divide por el módulo del vector normal n = (1, 1, 2): |1 + 0 + 4 + 1|/√(1 + 1 + 4) = 6/√6 = √6 ≈ 2,45. El valor absoluto es imprescindible: una distancia nunca es negativa.
02a · Escribe el plano paralelo a π que pasa por ATribunal: ecuación del plano de vuelo0,5
Si el dron mantiene siempre la misma distancia a π, vuela en un plano paralelo a π: comparte su vector normal y tiene la forma x + y + 2z + D = 0. Como el dron sale de A, el plano pasa por A: 1 + 0 + 4 + D = 0, así que D = −5. Compruébalo: el otro plano a distancia √6 de π, x + y + 2z + 7 = 0, no contiene a A.
03b1 · Plantea la perpendicular a π por C y córtala con el plano de vueloTribunal: planteamiento0,5
Las fotografías se toman perpendicularmente a π, así que el punto del plano de vuelo más cercano a C está en la recta perpendicular a π que pasa por C. Su vector director es la normal n = (1, 1, 2): (x, y, z) = (μ, −3 + μ, 1 + 2μ). Ese punto B es la intersección de esta recta con el plano de vuelo, y la trayectoria del dron es la recta que pasa por A y B.
04b1 · Halla B y escribe la recta que pasa por A y BTribunal: resolución0,5
Sustituye la recta en x + y + 2z − 5 = 0: μ + (−3 + μ) + 2(1 + 2μ) − 5 = 6μ − 6 = 0, luego μ = 1 y B = (1, −2, 3). El vector AB = (0, −2, 1) da la dirección, y la recta es (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ(0, −2, 1). Comprueba que B cumple la ecuación del plano de vuelo: 1 − 2 + 6 − 5 = 0.
05b2 · Sitúa A′ y plantea el ángulo con el vector normal de πTribunal: planteamiento0,5
Al descender perpendicularmente a π, el dron se mueve por la recta A + t(1, 1, 2). Esa recta corta a π en la proyección P = (0, −1, 0), que sale de 6 + 6t = 0, t = −1. A la mitad de la distancia está el punto medio de A y P: A′ = (1/2, −1/2, 1). El ángulo α entre una recta y un plano es el complementario del que forma con la normal, así que se calcula con el seno.
06b2 · Calcula el ángulo entre la recta CA′ y el plano πTribunal: resolución0,5
El vector CA′ = (1/2, 5/2, 0) tiene módulo √26/2, y CA′ · n = 1/2 + 5/2 = 3. Entonces sen α = 3/((√26/2)·√6) = √39/13 ≈ 0,4804 y α ≈ 28,71°. Comprueba A′: su distancia a π es √6/2, la mitad de la original.
Error típico
Usar el coseno con el vector normal del plano
Lo que se suele escribir: cos α = |CA′ · n|/(|CA′| |n|). Lo correcto: sen α = |CA′ · n|/(|CA′| |n|)
Es habitual usar la misma fórmula que para el ángulo entre dos vectores y quedarse con el coseno del ángulo entre CA′ y la normal de π. Ese es el ángulo con la normal (≈ 61,29°), no con el plano: los dos son complementarios. Con el vector normal, la fórmula del ángulo entre recta y plano lleva el seno; si prefieres el coseno, úsalo con la proyección de la recta sobre el plano.
Cuesta los puntos de «planteamiento»: 0,5 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2026 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uah.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Publicado en uah.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.