PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria
Pregunta 3.2: distancia a un plano, pie de la perpendicular y área de un triángulo
En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
- a)d(P, π) = √2/2 ≈ 0,71, con la fórmula |0 + 1 − 2|/√(1² + 1²).
- b)Q(1/2, 3/2, 1), el pie de la perpendicular desde P a π.
- c)√3 u² ≈ 1,73 u²: π corta los ejes en (2, 0, 0) y (0, 2, 0) y el área es la mitad del módulo de un producto vectorial.
Pregunta 3.2
Sean el punto P(0, 1, 1) y el plano π: x + y = 2. Se pide:
- a)Hallar la distancia del punto P al plano π. (0,5 p)
- b)Determinar el punto Q del plano π cuya distancia a P es igual que la distancia de P a π. (1 p)
- c)Hallar el área del triángulo formado por P y los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo de la distancia0,5
- 02b) Planteamiento geométrico0,5
- 03b) Cálculo del punto Q0,5
- 04c) Planteamiento del apartado c)0,5
- 05c) Resolución del apartado c)0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cuál es el vector normal de π?
Saca el vector normal de π de su ecuación, sin olvidar que a z le corresponde un coeficiente 0: te sirve para la distancia y para la recta perpendicular que pasa por P.
Pista 2 · ¿Corta π a los tres ejes?
Para los cortes con los ejes, anula dos de las coordenadas en la ecuación de π y mira si la tercera tiene solución.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Aplica la fórmula de la distancia de un punto a un planoTribunal: cálculo de la distancia0,5
Escribe π como x + y + 0z − 2 = 0: su vector normal es n = (1, 1, 0). Sustituye P(0, 1, 1) y divide por el módulo de n: d(P, π) = |0 + 1 + 0 − 2|/√(1² + 1² + 0²) = 1/√2 = √2/2 ≈ 0,71. Ojo con el denominador: el coeficiente de z es 0, así que bajo la raíz hay 2 y no 3.
02b · Justifica que Q es el pie de la perpendicular desde PTribunal: planteamiento geométrico0,5
La distancia de P a π es la menor de las distancias de P a los puntos de π, y solo la alcanza el pie de la perpendicular: para cualquier otro punto X de π, el triángulo P Q X es rectángulo en Q y PX es la hipotenusa, más larga que PQ. Así que Q es el corte de π con la recta que pasa por P con la dirección del normal n = (1, 1, 0): r ≡ (x, y, z) = (t, 1 + t, 1).
03b · Corta la recta perpendicular con el planoTribunal: cálculo del punto Q0,5
Sustituye el punto genérico de la recta en π: t + (1 + t) = 2, de donde t = 1/2 y Q = (1/2, 3/2, 1). Comprueba las dos condiciones: Q está en π (1/2 + 3/2 = 2) y PQ = (1/2, 1/2, 0) mide √(1/4 + 1/4) = √2/2, que es la distancia del apartado a).
04c · Halla los vértices del triángulo y plantea el áreaTribunal: planteamiento del apartado c)0,5
Para cortar con el eje X haz y = z = 0: x = 2, punto A(2, 0, 0). Con el eje Y, x = z = 0 da y = 2, punto B(0, 2, 0). Con el eje Z, x = y = 0 da 0 = 2, imposible: π es paralelo al eje Z y no lo corta. El triángulo es, por tanto, P A B, y su área es la mitad del módulo de AP × AB.
05c · Calcula el producto vectorial y el áreaTribunal: resolución del apartado c)0,5
Con AP = (−2, 1, 1) y AB = (−2, 2, 0), el producto vectorial es AP × AB = (−2, −2, −2), de módulo √12 = 2√3. El área vale 2√3/2 = √3 u² ≈ 1,73 u². Comprueba: el vector (−2, −2, −2) es perpendicular a AP (4 − 2 − 2 = 0) y a AB (4 − 4 + 0 = 0).
Error típico
Inventar un corte con el eje Z
Lo que se suele escribir: x = y = 0 ⇒ z = 2. Lo correcto: x = y = 0 ⇒ 0 = 2: no hay corte
En el apartado c) es frecuente dar por hecho que π corta los tres ejes y buscar un tercer punto en el eje Z. Al hacer x = y = 0 la ecuación queda 0 = 2, que no tiene solución: el plano es paralelo al eje Z. Si fuerzas un punto ahí, el triángulo deja de ser el del enunciado y se pierde el planteamiento. Antes de calcular, comprueba cada corte y quédate con P y los dos puntos que existen.
Cuesta los puntos de «planteamiento del apartado c)»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
Sigue practicando
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.