PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Extraordinaria

Pregunta 3.1: volumen, área de una cara y altura de un tetraedro, y distancia entre dos rectas

Tema · Geometría en el espacio
Opcional · 3.1 o 3.2
Solución verificada

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a)no son coplanarios: det(AB, AC, AD) = −3 ≠ 0, y V = 1/2 u³.
b)área ABC = 3√10/2 ≈ 4,74 u² y h = √10/10 ≈ 0,32 u, por 3V/área.
c)d = 3√29/29 ≈ 0,56 u, con la fórmula de la distancia entre dos rectas que se cruzan.

Pregunta 3.1

PAU Madrid 2025 · ExtraordinariaGeometría2,5 puntos

Sean los puntos A(1, 1, 2), B(2, −1, 0), C(−2, 0, 3) y D(2, −3, −1) y la recta r ≡ (x − 1)/2 = y + 1 = z/(−1).

a)Compruebe que los puntos no son coplanarios y calcule el volumen del tetraedro determinado por ellos. (0,5 p)
b)Calcule el área de la cara del tetraedro ABCD determinada por los puntos A, B y C y la longitud de la altura del tetraedro que parte del vértice D. (1 p)
c)Calcule la distancia entre la recta r y la recta determinada por los puntos B y D. (1 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Comprobar que los puntos no son coplanarios0,25
02a) Cálculo del volumen del tetraedro0,25
03b) Planteamiento para calcular el área de la cara ABC del tetraedro0,25
04b) Resolución: área de la cara ABC0,25
05b) Planteamiento del cálculo de la altura que parte de D0,25
06b) Resolución: longitud de la altura que parte de D0,25
07c) Planteamiento del apartado c)0,5
08c) Resolución del apartado c)0,5

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué herramienta sirve para el apartado a?

Con los tres vectores que salen de A, el producto mixto te dice a la vez si los puntos son coplanarios y cuánto mide el tetraedro.

Pista 2 · ¿Cómo se relacionan volumen, área y altura?

La altura desde D no necesita la ecuación del plano: el volumen también es un tercio del área de la base por la altura.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Comprueba que los cuatro puntos no son coplanariosTribunal: comprobar que los puntos no son coplanarios0,25
Forma los vectores desde A: AB = (1, −2, −2), AC = (−3, −1, 1) y AD = (1, −4, −3). Los cuatro puntos son coplanarios si y solo si estos tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si su determinante (el producto mixto) es 0. Sale det(AB, AC, AD) = −3 ≠ 0, así que no son coplanarios.
$\det (\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}) = | \begin{matrix} 1 & - 2 & - 2 \\ - 3 & - 1 & 1 \\ 1 & - 4 & - 3 \end{matrix} | = - 3 \neq 0$
Tribunal
Comprobar que los puntos no son coplanarios: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
02a · Calcula el volumen con el producto mixtoTribunal: cálculo del volumen del tetraedro0,25
El valor absoluto del producto mixto es el volumen del paralelepípedo que forman AB, AC y AD; el tetraedro es la sexta parte. Por tanto, V = |−3|/6 = 1/2 u³.
$V = \frac{1}{6} | \det (\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}) | = \frac{| - 3 |}{6} = \frac{1}{2} u^{3}$
Tribunal
Cálculo del volumen del tetraedro: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
03b · Plantea y calcula el área de la cara ABCTribunal: planteamiento para calcular el área de la cara ABC del tetraedro · resolución: área de la cara ABC0,5
El área del triángulo ABC es la mitad del módulo de AB × AC (el módulo es el área del paralelogramo). AB × AC = (−4, 5, −7), con módulo √(16 + 25 + 49) = √90 = 3√10. El área vale 3√10/2 ≈ 4,74 u².
$\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 4, 5, - 7), {Área}_{A B C} = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | = \frac{3 \sqrt{10}}{2} \approx 4,74 u^{2}$
Tribunal
Planteamiento para calcular el área de la cara del tetraedro: 0,25 puntos. Resolución: 0,25 puntos.
0,5de 2,5
04b · Plantea y calcula la altura que parte de DTribunal: planteamiento del cálculo de la altura que parte de D · resolución: longitud de la altura que parte de D0,5
La altura desde D es la distancia al plano que contiene la cara ABC, así que usa V = (1/3)·Área_ABC·h con los dos datos que ya tienes: 1/2 = (1/3)·(3√10/2)·h, de donde h = 1/√10 = √10/10 ≈ 0,32 u. Comprobación: el plano ABC es −4x + 5y − 7z + 13 = 0 y la distancia de D(2, −3, −1) a él es |−8 − 15 + 7 + 13|/√90 = 3/√90 = √10/10.
$\frac{1}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{10}}{2} \cdot h ⟹ h = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0,32$
Tribunal
Planteamiento del cálculo de la altura: 0,25 puntos. Resolución: 0,25 puntos.
0,5de 2,5
05c · Comprueba que las rectas se cruzan y plantea la distanciaTribunal: planteamiento del apartado c)0,5
De r sacas el punto P(1, −1, 0) y el vector v = (2, 1, −1); la recta BD pasa por B(2, −1, 0) con vector BD = (0, −2, −1). v y BD no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas, y el producto mixto [PB, v, BD] con PB = (1, 0, 0) no es 0, así que tampoco se cortan: se cruzan. La distancia es la altura del paralelepípedo que forman PB, v y BD sobre la base v × BD.
$d (r, s) = \frac{| [\vec{P B}, \vec{v}, \vec{B D}] |}{| \vec{v} \times \vec{B D} |}$
Tribunal
Planteamiento: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
06c · Calcula la distancia entre las rectasTribunal: resolución del apartado c)0,5
v × BD = (−3, 2, −4), con módulo √29, y [PB, v, BD] = PB · (v × BD) = −3. Entonces d = 3/√29 = 3√29/29 ≈ 0,56 u. Es lo mismo que la distancia de B al plano −3x + 2y − 4z + 5 = 0, que contiene a r y es paralelo a BD: |−6 − 2 + 5|/√29 = 3/√29.
$\vec{v} \times \vec{B D} = (- 3, 2, - 4), d = \frac{| - 3 |}{\sqrt{29}} = \frac{3 \sqrt{29}}{29} \approx 0,56$
Tribunal
Resolución: 0,5 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Olvidar el 1/6 en el volumen del tetraedro

Lo que se suele escribir: ~~V = |det(AB, AC, AD)| = 3~~. Lo correcto: V = |det(AB, AC, AD)|/6 = 1/2

Muchos toman |det(AB, AC, AD)| = 3 directamente como volumen del tetraedro. Ese número es el volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores, y el tetraedro ocupa solo la sexta parte: V = 3/6 = 1/2 u³. El error además se arrastra al apartado b) si sacas la altura del volumen, porque h saldría seis veces mayor. Escribe siempre el 1/6 delante del valor absoluto.

Cuesta los puntos de «cálculo del volumen del tetraedro»: 0,25 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.1 o la 3.2.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.