PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Extraordinaria
Pregunta 3.2: plano paralelo al eje OZ y recta perpendicular a z = 1 a una unidad de dos puntos
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- a)y = 0: contiene AB = (1, 0, 0) y la dirección del eje, (0, 0, 1), y su normal es AB × (0, 0, 1) = (0, −1, 0).
- b)r ≡ (x, y, z) = (1/2, ±√3/2, λ): es vertical, v = (0, 0, 1), y su punto (x₀, y₀, 1) dista 1 de A y de B.
Pregunta 3.2
Dados los puntos A(0, 0, 1) y B(1, 0, 1), se pide:
- a)Hallar una ecuación del plano paralelo al eje OZ y que pasa por los puntos A y B. (1 p)
- b)Hallar una ecuación de una recta perpendicular al plano z = 1 que diste una unidad tanto del punto A como del punto B. (1,5 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Planteamiento del apartado a)0,5
- 02a) Resolución del apartado a)0,5
- 03b) Planteamiento del apartado b)1
- 04b) Resolución del apartado b)0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué vectores directores tiene el plano?
Que el plano sea paralelo al eje OZ te da uno de sus vectores directores; el otro sale de los dos puntos.
Pista 2 · ¿Qué dirección tiene la recta de b)?
En b), decide primero qué dirección tiene una recta perpendicular a un plano y escribe las distancias de A y de B a esa recta en función de lo que quede por conocer.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Plantea el plano con sus dos vectores directoresTribunal: planteamiento del apartado a)0,5
Que el plano sea paralelo al eje OZ significa que contiene su dirección, (0, 0, 1). Como pasa por A y B, también contiene el vector AB = B − A = (1, 0, 0). El plano queda determinado por el punto A y esos dos vectores, que no son paralelos, y su vector normal es su producto vectorial.
02a · Calcula la normal y la ecuación del planoTribunal: resolución del apartado a)0,5
El producto vectorial da n = (0, −1, 0), así que el plano es −y + D = 0; al pasar por A(0, 0, 1), D = 0 y queda y = 0. Lo mismo sale con el determinante de (x, y, z − 1), AB y (0, 0, 1). Comprueba: A y B tienen y = 0, y n·(0, 0, 1) = 0, de modo que el plano es paralelo al eje (de hecho, lo contiene).
03b · Plantea la recta vertical y las dos distanciasTribunal: planteamiento del apartado b)1
Una recta perpendicular al plano z = 1 tiene como vector director la normal de ese plano, v = (0, 0, 1), así que es r ≡ (x, y, z) = (x₀, y₀, λ), con x₀ e y₀ por determinar. Toma P(x₀, y₀, 1), el punto de r en el plano z = 1. Con la fórmula d(A, r) = |PA × v|/|v| sale d(A, r) = √(x₀² + y₀²), y del mismo modo d(B, r) = √((x₀ − 1)² + y₀²): como A y B están en z = 1, cada distancia es la que hay entre el punto y P. Igualando las dos a 1 tienes el sistema.
04b · Resuelve el sistema y escribe una rectaTribunal: resolución del apartado b)0,5
Restando las dos ecuaciones al cuadrado queda 2x₀ − 1 = 0, es decir, x₀ = 1/2; entonces y₀² = 1 − 1/4 = 3/4 e y₀ = ±√3/2. Hay dos rectas, y basta con dar una: r ≡ (x, y, z) = (1/2, √3/2, λ), λ ∈ ℝ. Comprueba: (1/2)² + (√3/2)² = 1 y (−1/2)² + 3/4 = 1, y el punto (1/2, √3/2, 1) forma con A y B un triángulo equilátero de lado 1.
Error típico
Dar un plano perpendicular al eje en vez de paralelo
Lo que se suele escribir: π ≡ z − 1 = 0. Lo correcto: π ≡ y = 0
En el apartado a) muchos alumnos ven que A y B tienen la misma z y dan el plano z = 1. Pasa por los dos puntos, pero su normal es (0, 0, 1), la dirección del eje OZ: ese plano es perpendicular al eje, no paralelo. Un plano paralelo a OZ tiene la normal perpendicular a (0, 0, 1); comprueba siempre n·(0, 0, 1) = 0 antes de dar el plano.
Cuesta los puntos de «planteamiento del apartado a)»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.