PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Extraordinaria
Pregunta 4.2: caídas de un corredor con lluvia y en seco: probabilidad total y Bayes
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- a)P(Cᶜ) = 0,9656, con C «caerse» y L «llover»: P(L) = 0,032/0,08 = 0,4 y, por la probabilidad total, P(C) = 0,0344.
- b)P(Lᶜ | C) = 3/43 ≈ 0,0698: por Bayes, 0,6·0,004 entre P(C) = 0,0344.
Pregunta 4.2
La probabilidad de que un corredor sufra una caída en un día con lluvia es de 0,08 y en un día seco es de 0,004. La probabilidad de que llueva y se caiga es de 0,032. Hoy un corredor ha salido. Se pide:
- a)Calcular la probabilidad de que vuelva a casa sin haberse caído. (1,25 p)
- b)Hallar la probabilidad de que, sabiendo que se ha caído, no esté lloviendo. (1,25 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: planteamiento del apartado a) y planteamiento del apartado b).
- 01a) Planteamiento del apartado a)0,75
- 02a) Resolución del apartado a)0,5
- 03b) Planteamiento del apartado b)0,75
- 04b) Resolución del apartado b)0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué dato falta para la probabilidad total?
Ponle nombre a «llover» y a «caerse» y decide cuál de los tres datos es una intersección y cuáles son condicionadas: con eso puedes despejar la probabilidad de que llueva.
Pista 2 · ¿Qué suceso es la condición en b)?
En b) la condición es haberse caído: piensa qué probabilidad va en el denominador y cuál de los dos tipos de día va en el numerador.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Despeja P(L) y plantea la probabilidad totalTribunal: planteamiento del apartado a)0,75
Llama L a que llueva y C a que el corredor se caiga. Los datos son P(C | L) = 0,08, P(C | Lᶜ) = 0,004 y P(L ∩ C) = 0,032. Falta P(L), y sale de P(L ∩ C) = P(L)·P(C | L): P(L) = 0,032/0,08 = 0,4 y P(Lᶜ) = 0,6. Como L y Lᶜ forman un sistema completo, por el teorema de la probabilidad total P(Cᶜ) = P(L)·P(Cᶜ | L) + P(Lᶜ)·P(Cᶜ | Lᶜ), con P(Cᶜ | L) = 1 − 0,08 = 0,92 y P(Cᶜ | Lᶜ) = 1 − 0,004 = 0,996.
02a · Sustituye y calcula la probabilidadTribunal: resolución del apartado a)0,5
P(Cᶜ) = 0,4·0,92 + 0,6·0,996 = 0,368 + 0,5976 = 0,9656. Compruébalo por el otro lado: P(C) = 0,032 + 0,6·0,004 = 0,0344, y 1 − 0,0344 = 0,9656.
03b · Plantea el teorema de Bayes con la condición de caerseTribunal: planteamiento del apartado b)0,75
Te piden P(Lᶜ | C): sabes que se ha caído y preguntas si era un día seco. Por el teorema de Bayes, P(Lᶜ | C) = P(Lᶜ)·P(C | Lᶜ)/P(C). El denominador es la probabilidad de caerse, P(C) = 1 − P(Cᶜ), que ya tienes del apartado a).
04b · Sustituye y calcula la probabilidadTribunal: resolución del apartado b)0,5
El numerador vale 0,6·0,004 = 0,0024 y el denominador, 1 − 0,9656 = 0,0344, así que P(Lᶜ | C) = 0,0024/0,0344 = 3/43 ≈ 0,0698. Comprueba con el complementario: P(L | C) = 0,032/0,0344 = 40/43, y las dos suman 1. Es lógico que sea pequeña: con lluvia el riesgo de caída es veinte veces mayor.
Error típico
Sumar probabilidades condicionadas sin ponderarlas
Lo que se suele escribir: P(C) = 0,08 + 0,004. Lo correcto: P(C) = 0,4·0,08 + 0,6·0,004
En el apartado a) se suele sumar 0,08 y 0,004 como si fuera la probabilidad de caerse, o suponer que llover y no llover valen 0,5 cada uno. Las dos son probabilidades condicionadas y hay que ponderarlas por P(L) y P(Lᶜ); P(L) no viene dada, se despeja del tercer dato: P(L) = 0,032/0,08 = 0,4. Escribe primero qué es cada dato (P(C | L), P(C | Lᶜ), P(L ∩ C)) y solo entonces aplica la probabilidad total.
Cuesta los puntos de «planteamiento del apartado a)»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.