PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Extraordinaria
Pregunta 2: parcela pentagonal de área máxima con 120 metros de valla
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Hay que poner B a AB = 60(5 − √3)/11 ≈ 17,83 m de A y E a AE = 40(6 + √3)/11 ≈ 28,12 m. Con AB = x y AE = y, la valla mide 2x + 3y = 120 y el área es x·y + (√3/4)·y²; se despeja x, se deriva en y y la derivada se anula en y = 120/(6 − √3).
Pregunta 2
Un agricultor dispone de 120 metros de valla para delimitar una parcela con forma de pentágono. Los vértices del pentágono se nombrarán consecutivamente como A, B, C, D y E. Se sabe que A, B, D y E forman un rectángulo, y que el punto C se encuentra en el exterior de este rectángulo, formando un triángulo equilátero con los puntos B y D. ¿A qué distancia del vértice A el agricultor debe ubicar los vértices B y E si quiere que la parcela tenga la mayor área posible?
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01Planteamiento1,5
- 02Resolución1
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué lados lleva la valla?
Pon nombre a los dos lados del rectángulo y fíjate en qué lados del pentágono lleva valla: el lado común del rectángulo y el triángulo queda por dentro.
Pista 2 · ¿Cómo queda el área con una sola variable?
El área es la del rectángulo más la de un triángulo equilátero; usa la valla para dejarla en función de una sola variable y deriva.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01Plantea el área en función de un solo ladoTribunal: planteamiento1,5
Llama x = AB = ED e y = AE = BD. El triángulo BCD es equilátero, así que BC = CD = BD = y. La valla rodea el pentágono A-B-C-D-E: AB + BC + CD + DE + EA = 2x + 3y = 120, porque el lado BD queda dentro de la parcela y no lleva valla. El área es la del rectángulo, x·y, más la del triángulo equilátero de lado y, (√3/4)·y². Despejando x = (120 − 3y)/2 queda una función de y, y como x > 0 e y > 0, y tiene que estar en (0, 40).
02Deriva, anula y justifica que es el máximoTribunal: resolución1
A(y) = 60y − (3/2)y² + (√3/4)y², así que A′(y) = 60 − (3 − √3/2)·y, que se anula en y = 60/(3 − √3/2) = 120/(6 − √3) = 40(6 + √3)/11 ≈ 28,12, dentro de (0, 40). A′ es positiva antes y negativa después (A″ = −(3 − √3/2) < 0), así que es el máximo absoluto en el intervalo. Entonces x = (120 − 3y)/2 = 60(5 − √3)/11 ≈ 17,83: B va a unos 17,83 m de A y E a unos 28,12 m. Comprueba: 2·17,83 + 3·28,12 ≈ 120.
Error típico
Contar en la valla el lado interior BD
Lo que se suele escribir: 2x + 4y = 120. Lo correcto: 2x + 3y = 120
Es fácil contar en la valla los cuatro lados del rectángulo y los dos del triángulo. Pero BD separa el rectángulo del triángulo: es interior y no está en el contorno. Con esa restricción el máximo sale en AE ≈ 19,15 m y AB ≈ 21,71 m, y se pierde el planteamiento. Recorre el contorno A → B → C → D → E → A y suma solo esos cinco lados.
Cuesta los puntos de «planteamiento»: 1,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.