PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Extraordinaria
Pregunta 4.1: masa de los trabajadores: probabilidades con una normal y una binomial
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- a)P(60 ≤ X ≤ 80) ≈ 0,5739, con X la masa y Z = (X − 75,67)/11,05: P(Z ≤ 0,39) − P(Z < −1,42).
- b)P(X > 100) ≈ 0,0139: 1 − P(Z < 2,20).
- c)P(T ≤ 1) ≈ 0,9919: T, cuántos de los diez pasan de 100 kg, es B(10; 0,0139) y se suman P(T = 0) y P(T = 1).
Pregunta 4.1
En base a un estudio de los datos antropométricos de la población laboral española en hombres se considera que la masa, en kilogramos, de un individuo de esta población es una variable normal de media 75,67 y desviación típica 11,05. Se pide:
- a)Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa entre 60 y 80 kilogramos. (0,75 p)
- b)Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa superior a 100 kilogramos. (0,75 p)
- c)Elegidos diez hombres distintos al azar en esta población calcular la probabilidad de que no más de uno supere los 100 kilogramos. (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Planteamiento del apartado a)0,5
- 02a) Resolución del apartado a)0,25
- 03b) Planteamiento del apartado b)0,5
- 04b) Resolución del apartado b)0,25
- 05c) Planteamiento del apartado c)0,75
- 06c) Resolución del apartado c)0,25
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo pasas a la normal estándar?
En a) y b) pasa de X a la normal estándar restando la media y dividiendo por la desviación típica; para los valores negativos usa la simetría de la tabla.
Pista 2 · ¿Qué valores incluye «no más de uno»?
En c) cuenta cuántos de los diez superan los 100 kg: es un experimento repetido con dos resultados posibles. Escribe qué valores incluye «no más de uno» antes de calcular.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Tipifica los dos extremos del intervaloTribunal: planteamiento del apartado a)0,5
La masa es X ~ N(75,67; 11,05), y Z = (X − 75,67)/11,05 sigue una N(0; 1). Tipifica los dos extremos: (60 − 75,67)/11,05 ≈ −1,42 y (80 − 75,67)/11,05 ≈ 0,39, redondeados a dos decimales para usar la tabla. Así P(60 ≤ X ≤ 80) ≈ P(−1,42 ≤ Z ≤ 0,39) = P(Z ≤ 0,39) − P(Z < −1,42).
02a · Lee la tabla y calcula la probabilidadTribunal: resolución del apartado a)0,25
La tabla da P(Z ≤ 0,39) = 0,6517. Para el valor negativo usa la simetría: P(Z < −1,42) = 1 − P(Z ≤ 1,42) = 1 − 0,9222 = 0,0778. Por tanto, P(60 ≤ X ≤ 80) ≈ 0,6517 − 0,0778 = 0,5739. Con la calculadora y sin redondear los valores tipificados sale 0,5743: la diferencia es solo del redondeo de la tabla.
03b · Tipifica y pasa al complementarioTribunal: planteamiento del apartado b)0,5
Ahora el valor tipificado es (100 − 75,67)/11,05 ≈ 2,20. La tabla da probabilidades acumuladas, P(Z ≤ z), así que para la cola de la derecha usas el complementario: P(X > 100) ≈ P(Z > 2,20) = 1 − P(Z ≤ 2,20). Al ser X continua, da igual escribir > o ≥.
04b · Lee la tabla y calcula la probabilidadTribunal: resolución del apartado b)0,25
Con P(Z ≤ 2,20) = 0,9861, queda P(X > 100) ≈ 1 − 0,9861 = 0,0139. Es una probabilidad pequeña, como debe ser: 100 kg está más de dos desviaciones típicas por encima de la media.
05c · Identifica la binomial y qué valores entranTribunal: planteamiento del apartado c)0,75
Cada uno de los diez hombres supera o no los 100 kg, con la misma probabilidad p = 0,0139 del apartado b) y de forma independiente. Por tanto, T = número de hombres que superan los 100 kg sigue una B(10; 0,0139). «No más de uno» es T ≤ 1, es decir, T = 0 o T = 1, y se suman las dos probabilidades con la fórmula de la binomial.
06c · Sustituye y calcula la probabilidadTribunal: resolución del apartado c)0,25
P(T = 0) = 0,9861¹⁰ ≈ 0,8694 y P(T = 1) = 10·0,0139·0,9861⁹ ≈ 0,1225, así que P(T ≤ 1) ≈ 0,9919. Tiene sentido: con una probabilidad individual tan baja, que dos o más de los diez pasen de 100 kg es muy raro (≈ 0,0081).
Error típico
Leer «no más de uno» como «exactamente uno»
Lo que se suele escribir: P(T ≤ 1) = 10p(1 − p)⁹. Lo correcto: P(T ≤ 1) = (1 − p)¹⁰ + 10p(1 − p)⁹
En el apartado c) se suele calcular solo P(T = 1) ≈ 0,1225, como si pidieran exactamente uno, o P(T < 1). «No más de uno» es T ≤ 1: incluye también que ninguno pase de 100 kg, que es el caso más probable. Antes de usar la fórmula de la binomial, escribe qué valores de T entran; aquí son 0 y 1, y hay que sumar los dos términos.
Cuesta los puntos de «planteamiento del apartado c)»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.