Pregunta 1.1: discusión y resolución de un sistema escrito en forma matricial con parámetro k

Calcula el determinante de la matriz de coeficientes por Sarrus: det(A) = −k + (k + 1)² − 1 + k²(k + 1) = k³ + 2k² + k = k(k + 1)². Solo se anula en k = 0 y en k = −1: esos son los valores críticos, y hallarlos ya vale 0,25 puntos. Si k ≠ 0 y k ≠ −1, det(A) ≠ 0, así que rg(A) = rg(A*) = 3, que es el número de incógnitas, y por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado.

Para k = 0 el sistema queda y + z = 0, x + y = 0 y x + y = 0: las dos últimas ecuaciones son la misma. El menor de A formado por las dos primeras filas y columnas vale 0·1 − 1·1 = −1 ≠ 0, así que rg(A) = 2; la ampliada también tiene rango 2, porque su columna de términos independientes es nula. Como rg(A) = rg(A*) = 2 < 3, el sistema es compatible indeterminado, con un parámetro libre.

Para k = −1 las ecuaciones son −x + y + z = 0, y + z = −1 y x = −2. En A, la primera fila es la segunda menos la tercera y el menor de las filas 2 y 3 con las columnas de x e y vale 0·0 − 1·1 = −1 ≠ 0: rg(A) = 2. En la ampliada esa relación falla en los términos independientes, −1 − (−2) = 1 ≠ 0, y el menor de las columnas de x, de z y de los términos independientes vale 1, así que rg(A*) = 3. Como rg(A) ≠ rg(A*), el sistema es incompatible: con x = −2, la primera ecuación pide y + z = −2 y la segunda, y + z = −1.

Sustituye k = 0 en cada ecuación: kx + y + z = 0 pasa a y + z = 0, (k + 1)x + y − kz = k pasa a x + y = 0, y x + (k + 1)y = 2k pasa también a x + y = 0. Por el apartado a), el sistema es compatible indeterminado con rango 2: te quedas con las dos ecuaciones independientes, y + z = 0 y x + y = 0, y una incógnita hace de parámetro.

Toma z = λ. De y + z = 0 sale y = −λ, y de x + y = 0, x = −y = λ. La solución general es (x, y, z) = (λ, −λ, λ), con λ ∈ ℝ: una recta de soluciones, como corresponde a un sistema compatible indeterminado con un parámetro. Comprueba en las tres ecuaciones con k = 0: −λ + λ = 0, λ − λ = 0 y λ − λ = 0.