Pregunta 1.2: matrices simétricas que cumplen BA = (A + A²)B y una sucesión de matrices definida por recurrencia

B tiene que ser cuadrada de orden 2 para que existan los productos BA y (A + A²)B. Es simétrica si coincide con su traspuesta, Bᵗ = B: los elementos situados simétricamente respecto de la diagonal son iguales. Así, B = (a b; b c), con a, b, c ∈ ℝ: solo tres incógnitas.

Primero, A² = (−4 −10; 2 4), así que A + A² = (−3 −5; 1 1). Multiplica respetando el orden: BA = (a − b, 5a − 3b; b − c, 5b − 3c) y (A + A²)B = (−3a − 5b, −3b − 5c; a + b, b + c). Igualando elemento a elemento salen cuatro ecuaciones: a − b = −3a − 5b, 5a − 3b = −3b − 5c, b − c = a + b y 5b − 3c = b + c.

Simplificadas, las ecuaciones quedan 4a + 4b = 0, 5a + 5c = 0, a + c = 0 y 4b − 4c = 0, es decir, a = −b, a = −c y b = c. Es un sistema homogéneo con infinitas soluciones y un parámetro: toma c = λ, y entonces b = λ y a = −λ. Las matrices pedidas son B = (−λ λ; λ λ), con λ ∈ ℝ. Comprueba con λ = 1: BA y (A + A²)B dan las dos (−2 −8; 0 2).

A₁ = A = (1 5; −1 −3). A₂ = A₁² + A₁ es la matriz que ya has calculado en a): A₂ = (−3 −5; 1 1). Para la tercera, A₂² = (4 10; −2 −4), y A₃ = A₂² + A₂ = (1 5; −1 −3): vuelve a salir A₁.

Cada matriz se obtiene solo a partir de la anterior, con la misma regla. Como A₃ = A₁, la siguiente repite a A₂: A₄ = A₃² + A₃ = A₁² + A₁ = A₂, después A₅ = A₁, y así sucesivamente. La sucesión alterna A₁ y A₂: Aₙ = A₁ si n es impar y Aₙ = A₂ si n es par. Como 2025 es impar, A₂₀₂₅ = A₁ = A = (1 5; −1 −3).