PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Ordinaria
Pregunta 2: optimización del coste de enlosar un jardín triangular
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La zona techada mide 21 m por 28 m: 21 m paralelos al cateto de 42 m y 28 m paralelos al de 56 m. Si x es el lado paralelo al de 42 m, el otro mide 56 − (4/3)x y el coste es mínimo en x = 21: 47 040 €.
Pregunta 2
Se quiere enlosar un jardín con forma de triángulo rectángulo de catetos 42 m y 56 m. Dentro del jardín se va a diferenciar un espacio rectangular techado de forma que dos de sus lados sean paralelos a los catetos del triángulo, un vértice coincida con el vértice del ángulo recto del triángulo y el vértice opuesto esté sobre su hipotenusa. Alicatar la parte cubierta cuesta 30 €/m² y la parte no techada, 50 €/m² pues las baldosas llevan un tratamiento especial resistente al agua. Calcule las dimensiones de la parte techada que hacen que el coste de instalar el suelo en el jardín sea mínimo.
Fuente: Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (upm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: relación entre x e y y función de coste y cálculo justificado del valor que optimiza.
- 01Relación entre x e y y función de coste0,6
- 02Función de una sola variable y derivar igualando a cero0,5
- 03Cálculo justificado del valor que optimiza0,6
- 04Justificar que es un mínimo0,1
- 05Obtener las dimensiones pedidas0,2
Criterio general: Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo se relacionan los dos lados?
Coloca el ángulo recto en el origen y usa la ecuación de la hipotenusa para escribir un lado del rectángulo en función del otro.
Pista 2 · ¿Qué entra en el coste del jardín?
El jardín se enlosa entero: la parte techada cuesta 30 €/m² y el resto del triángulo, 50 €/m². Escribe el coste de las dos zonas antes de derivar.
Míralo en movimiento
Una figura interactiva de este ejercicio. Muévela antes o después de resolverlo.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01Relaciona los lados del rectángulo y escribe la función de costeTribunal: relación entre x e y y función de coste0,6
Coloca el ángulo recto en el origen, el cateto de 42 m sobre el eje x y el de 56 m sobre el eje y, y llama x e y a los lados del rectángulo paralelos a cada uno. La hipotenusa une (42, 0) y (0, 56), así que el vértice opuesto cumple x/42 + y/56 = 1, es decir, y = 56 − (4/3)x con 0 ≤ x ≤ 42. El triángulo mide 42·56/2 = 1 176 m²: la parte techada tiene área xy y la descubierta, 1 176 − xy. El coste es C = 30xy + 50(1 176 − xy) = 58 800 − 20xy: cada metro cuadrado que pasa a estar techado ahorra 20 €.
02Expresa el coste en función de x y derivaTribunal: función de una sola variable y derivar igualando a cero0,5
Sustituye y = 56 − (4/3)x en el coste: C(x) = 58 800 − 20x[56 − (4/3)x] = 58 800 − 1 120x + (80/3)x², definida para 0 ≤ x ≤ 42. Deriva e iguala a cero: C′(x) = −1 120 + (160/3)x = 0.
03Resuelve C′(x) = 0 y comprueba que el valor es válidoTribunal: cálculo justificado del valor que optimiza0,6
De (160/3)x = 1 120 se obtiene x = 3·1 120/160 = 3 360/160 = 21 m. Es el único punto crítico y está dentro del intervalo 0 < x < 42, así que da un rectángulo con los dos lados positivos. Indica siempre que el valor pertenece al dominio: un punto crítico fuera de él no resolvería el problema.
04Justifica que es un mínimoTribunal: justificar que es un mínimo0,1
C″(x) = 160/3 > 0 para todo x: la función es una parábola convexa y su punto crítico es el mínimo absoluto. Lo confirman los extremos del intervalo: C(0) = C(42) = 58 800 €, mientras que C(21) = 47 040 €.
05Obtén las dimensiones de la zona techadaTribunal: obtener las dimensiones pedidas0,2
El otro lado mide y = 56 − (4/3)·21 = 56 − 28 = 28 m. La zona techada es un rectángulo de 21 m, paralelo al cateto de 42 m, por 28 m, paralelo al de 56 m. Cubre 21·28 = 588 m², justo la mitad del jardín, y el coste total es 30·588 + 50·588 = 47 040 €.
Error típico
Olvidar el coste de la zona sin techar
Lo que se suele escribir: C = 30xy. Lo correcto: C = 30xy + 50(1 176 − xy)
Es habitual plantear solo el coste de la zona techada, 30xy, y olvidar que el resto del jardín también se enlosa, a 50 €/m². Esa función no representa el problema y pierde los puntos del planteamiento. Escribe el coste de las dos zonas y deja claro qué lado del rectángulo es paralelo a cada cateto.
Cuesta los puntos de «relación entre x e y y función de coste»: 0,6 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (upm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Publicado en upm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.