Pregunta 5.1: área entre ln(x), el eje y x = e

La región está limitada por la gráfica, el eje de abscisas (la recta y = 0) y la recta vertical x = e. La gráfica corta al eje cuando ln(x) = 0, es decir, en x = 1, que es la frontera izquierda de la región. Los límites de integración son, por tanto, x = 1 y x = e.

En [1, e] la función ln(x) es creciente y va de ln(1) = 0 a ln(e) = 1, así que no es negativa y el área coincide con la integral, sin valor absoluto: A = ∫₁ᵉ ln(x) dx. Si la función cambiara de signo en el intervalo, habría que partirlo en trozos.

Como ln(x) no tiene primitiva inmediata, intégrala por partes con u = ln(x) y dv = dx. Entonces du = dx/x y v = x, y la fórmula ∫u dv = uv − ∫v du da ∫ln(x) dx = x ln(x) − ∫x·(1/x) dx = x ln(x) − x + C. Comprueba derivando: (x ln(x) − x)′ = ln(x) + 1 − 1 = ln(x).

Evalúa la primitiva en los extremos y resta: A = [x ln(x) − x]₁ᵉ = (e ln(e) − e) − (1·ln(1) − 1). Como ln(e) = 1 y ln(1) = 0, queda (e − e) − (0 − 1) = 1.

El área pedida es 1 u²: sale positiva, como corresponde a un área, y se expresa en unidades cuadradas. Es razonable: la gráfica de ln(x) se curva hacia abajo (su segunda derivada, −1/x², es negativa), así que queda por encima de la cuerda que une (1, 0) con (e, 1). Por eso el área supera la del triángulo, (e − 1)/2 ≈ 0,86, y no llega a la del rectángulo de base e − 1 y altura 1, ≈ 1,72.