PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Ordinaria
Pregunta 4.2: probabilidades condicionadas con A y B
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- a)P(Aᶜ) = 0,75 y P(A ∩ B) = 0,05: de P(A ∪ B) = 1 − 0,4 = 0,6 y P(A ∩ B) = 0,2·P(A) sale P(A) = 0,25.
- b)P((A ∩ B) | (A ∪ B)) = 1/12 ≈ 0,0833: A ∩ B está dentro de A ∪ B, así que es 0,05/0,6.
Pregunta 4.2
Sabiendo que P(B) = 0,4, P((A ∪ B)ᶜ) = 0,4 y P(B|A) = 0,2, calcule las siguientes probabilidades. El superíndice ᶜ indica el suceso complementario, representado con una barra superior en el PDF.
- a)P(Aᶜ) y P(A ∩ B). (1 p)
- b)P((A ∩ B) | (A ∪ B)). (1 p)
Fuente: Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (upm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Planteamiento con la definición de P(B|A)0,3
- 02a) Cálculo de P(A)0,3
- 03a) Cálculo de las dos probabilidades pedidas: P(Aᶜ) y P(A ∩ B)0,4
- 04b) Planteamiento0,6
- 05b) Resolución0,4
Criterio general: Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué significa P((A ∪ B)ᶜ) = 0,4?
Fíjate en las barras: el dato 0,4 es la probabilidad de que no ocurra ni A ni B, así que pasa primero a P(A ∪ B).
Pista 2 · ¿Cómo despejar P(A) y simplificar b)?
Llama p = P(A), escribe P(A ∩ B) en función de p con la definición de P(B|A) y sustitúyelo en la fórmula de la unión. En b), piensa qué es (A ∩ B) ∩ (A ∪ B).
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Escribe P(A ∩ B) con la definición de P(B|A)Tribunal: planteamiento con la definición de P(B|A)0,3
Llama p = P(A). Por la definición de probabilidad condicionada, P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A), y como P(B|A) = 0,2, la intersección queda en función de p: P(A ∩ B) = 0,2p. Es la pieza que falta para usar la fórmula de la unión.
02a · Halla P(A) con la probabilidad de la uniónTribunal: cálculo de P(A)0,3
El dato P((A ∪ B)ᶜ) = 0,4 es la probabilidad de que no ocurra ni A ni B (en el enunciado es la barra sobre A ∪ B), así que P(A ∪ B) = 1 − 0,4 = 0,6. Sustituye en P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B): 0,6 = p + 0,4 − 0,2p. De ahí 0,8p = 0,2 y P(A) = p = 0,25.
03a · Calcula P(Aᶜ) y P(A ∩ B)Tribunal: cálculo de las dos probabilidades pedidas: P(Aᶜ) y P(A ∩ B)0,4
P(Aᶜ) = 1 − P(A) = 1 − 0,25 = 0,75 y P(A ∩ B) = 0,2·0,25 = 0,05. P(A) = 0,25 es un paso intermedio: lo que pide el apartado es su complementario. Comprueba repartiendo la probabilidad en cuatro casos excluyentes: ambos sucesos, 0,05; solo A, 0,25 − 0,05 = 0,20; solo B, 0,40 − 0,05 = 0,35; ninguno, 0,40. Todos son no negativos, los tres primeros suman P(A ∪ B) = 0,6 y los cuatro suman 1.
04b · Plantea la condicionada y simplifica la intersecciónTribunal: planteamiento0,6
Aplica la definición de probabilidad condicionada con A ∪ B como condición: P((A ∩ B) | (A ∪ B)) = P((A ∩ B) ∩ (A ∪ B))/P(A ∪ B). Como A ∩ B está contenido en A ∪ B, su intersección con la unión es el propio A ∩ B, y la probabilidad pedida queda P(A ∩ B)/P(A ∪ B).
05b · Calcula el cocienteTribunal: resolución0,4
Con P(A ∩ B) = 0,05 de a) y P(A ∪ B) = 0,6, la probabilidad pedida es 0,05/0,6 = 1/12 ≈ 0,0833. Se interpreta así: a la larga, de cada 12 veces que ocurre al menos uno de los dos sucesos, en una ocurren ambos. Si en a) te hubiera salido otro valor de P(A ∩ B), el tribunal puntúa este apartado con ese valor, así que el planteamiento te sigue valiendo.
Error típico
Olvidar la barra del complementario de la unión
Lo que se suele escribir: P(A ∪ B) = 0,4. Lo correcto: P(A ∪ B) = 1 − 0,4 = 0,6
Si pierdes la barra del dato y lees P(A ∪ B) = 0,4, la fórmula de la unión da 0,4 = p + 0,4 − 0,2p y sale P(A) = 0, con lo que P(B|A) ni siquiera tendría sentido: esa es la señal de alarma. El dato es el complementario de la unión, así que P(A ∪ B) = 0,6. Y atento a la otra barra: el apartado a) pide P(Aᶜ), no P(A).
Cuesta los puntos de «cálculo de P(A)»: 0,3 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (upm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Publicado en upm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.