PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria

Pregunta 2: áreas de una bandera y optimización del rectángulo verde

Tema · Derivadas
Concepto · Derivada y recta tangente
Concepto · Integral definida y regla de Barrow
Obligatoria
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

Área blanca = 12, área verde = 27/16 y área roja = 37/16, la mínima posible, en unidades cuadradas. La blanca es ∫₀⁸ ∛x dx; bajo la curva quedan 4, y la roja es mínima cuando el rectángulo verde, de base 27/8 y altura 1/2, es máximo.

Pregunta 2

PAU Madrid 2026 · ExtraordinariaAnálisis2 puntos

Un diseñador gráfico propone una bandera usando los colores verde, blanco y rojo. Para ello considera un rectángulo de base 8 y altura 2, toma como origen de coordenadas el extremo inferior izquierdo del rectángulo y los lados izquierdo e inferior están sobre los ejes coordenados OY e OX, respectivamente. En el rectángulo descrito traza la curva de ecuación y = 2 − ∛x que va del vértice superior izquierdo del rectángulo al vértice inferior derecho. El diseñador quiere que la parte del rectángulo que queda por encima de la curva dada sea blanca. Para la parte que queda por debajo de la curva, toma un nuevo rectángulo con el vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas y el superior derecho en la curva. Ese rectángulo sería verde y lo que queda sería rojo. Calcule el área que ocupa cada color en esta bandera si el diseñador quiere que el área roja sea la menor posible.

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos.

Los criterios, a escala2puntos

Criterios oficialesPuntos

01Área blanca: planteamiento correcto de la integral0,3
02Área blanca: resolución0,2
03Área blanca: respuesta correcta0,1
04Identificación del vértice en la curva0,2
05Expresión de la función área con una sola variable0,3
06Derivada0,2
07Punto crítico0,2
08Obtención del área verde0,2
09Obtención del área roja0,2
10Justificación de que el extremo hallado es un máximo o mínimo0,1

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué altura tiene la zona blanca?

La zona blanca está por encima de la curva: su altura en cada x es la distancia entre y = 2 y la curva. Ojo, la curva lleva una raíz cúbica.

Pista 2 · ¿Qué relación hay entre el rojo y el verde?

La zona bajo la curva tiene un área fija, así que minimizar la parte roja equivale a maximizar el área del rectángulo verde, cuyo vértice está sobre la curva.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01Plantea el área blanca como una integralTribunal: área blanca: planteamiento correcto de la integral0,3
La curva y = 2 − ∛x va de (0, 2) a (8, 0), y la zona blanca queda entre ella y el lado superior del rectángulo, y = 2. En cada abscisa x de [0, 8], la altura blanca es techo menos suelo: 2 − (2 − ∛x) = ∛x. Por eso el área blanca es la integral de ∛x entre 0 y 8. Es una raíz cúbica, x^(1/3), no una raíz cuadrada.
$A_{blanca} = \int_{0}^{8} [2 - (2 - \sqrt[3]{x})] d x = \int_{0}^{8} x^{1 / 3} d x$
Tribunal
Cálculo del área blanca: … planteamiento correcto de la integral: 0,3 puntos
0,3de 2
02Integra con la regla de BarrowTribunal: área blanca: resolución · área blanca: respuesta correcta0,3
Una primitiva de x^(1/3) es (3/4)·x^(4/3). Como 8^(4/3) = (∛8)⁴ = 2⁴ = 16, la regla de Barrow da (3/4)·16 − 0 = 12 unidades cuadradas de blanco. El rectángulo mide 8·2 = 16, así que la zona bajo la curva, verde más roja, mide 16 − 12 = 4, lo mismo que ∫₀⁸ (2 − ∛x) dx. Ese 4 es fijo: no depende de cómo se elija el rectángulo verde.
$\int_{0}^{8} x^{1 / 3} d x = [\frac{3}{4} x^{4 / 3}]_{0}^{8} = \frac{3}{4} \cdot 16 - 0 = 12$
Tribunal
Cálculo del área blanca: … resolución: 0,2 puntos, respuesta correcta: 0,1 puntos
0,3de 2
03Coloca el vértice en la curva y escribe el área con una sola variableTribunal: identificación del vértice en la curva · expresión de la función área con una sola variable0,5
El rectángulo verde tiene un vértice en el origen y el opuesto sobre la curva, así que ese vértice es (x, 2 − ∛x), con 0 ≤ x ≤ 8. Su base es x y su altura 2 − ∛x, de modo que el área verde es G(x) = x(2 − ∛x) = 2x − x^(4/3). El área roja es lo que queda bajo la curva, R(x) = 4 − G(x): minimizar la roja es lo mismo que maximizar G, y puedes trabajar con cualquiera de las dos funciones.
$G (x) = x (2 - \sqrt[3]{x}) = 2 x - x^{4 / 3}, 0 \leq x \leq 8$
$R (x) = 4 - G (x)$
Tribunal
Cálculo de las áreas roja y verde: … identificación del vértice en la curva: 0,2 puntos, expresión de la función área con una sola variable: 0,3 puntos
0,5de 2
04Deriva e iguala a ceroTribunal: derivada · punto crítico0,4
Deriva término a término: G′(x) = 2 − (4/3)·x^(1/3) = 2 − (4/3)∛x. Si trabajas con la roja, R′(x) = −G′(x) y el punto crítico es el mismo. Al igualar a cero, ∛x = 3/2, y al elevar al cubo, x = 27/8, que está dentro de [0, 8].
$G^{'} (x) = 2 - \frac{4}{3} x^{1 / 3} = 0 ⟹ \sqrt[3]{x} = \frac{3}{2} ⟹ x = \frac{27}{8}$
Tribunal
Cálculo de las áreas roja y verde: … derivada: 0,2 puntos, punto crítico: 0,2 puntos
0,4de 2
05Justifica que el punto crítico da el máximoTribunal: justificación de que el extremo hallado es un máximo o mínimo0,1
G′ es positiva en (0, 27/8) y negativa en (27/8, 8): por ejemplo, G′(1) = 2/3 y G′(8) = −2/3. Así G crece y luego decrece, y como G(0) = G(8) = 0, en x = 27/8 está el máximo absoluto del área verde en [0, 8] y, por tanto, el mínimo de la roja. La segunda derivada lo confirma: G″(x) = −(4/9)x^(−2/3) < 0.
$G^{''} (x) = - \frac{4}{9} x^{- 2 / 3} < 0 para x > 0$
Tribunal
Justificación de que el extremo hallado es un máximo o mínimo: 0,1 puntos.
0,1de 2
06Calcula el área verde y el área rojaTribunal: obtención del área verde · obtención del área roja0,4
Con x = 27/8, la altura del rectángulo es 2 − 3/2 = 1/2, así que el área verde es (27/8)·(1/2) = 27/16. El área roja mínima es la zona bajo la curva menos la verde: 4 − 27/16 = 37/16. Comprueba el total: 12 + 27/16 + 37/16 = 12 + 4 = 16, el área de la bandera.
$G (\frac{27}{8}) = \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{16}, R = 4 - \frac{27}{16} = \frac{37}{16}$
$12 + \frac{27}{16} + \frac{37}{16} = 16$
Tribunal
Cálculo de las áreas roja y verde: … obtención del área verde: 0,2 puntos, obtención del área roja: 0,2 puntos
0,4de 2

Error típico

Tomar como blanca la zona que queda bajo la curva

Lo que se suele escribir: ~~Área blanca = ∫₀⁸ (2 − ∛x) dx~~. Lo correcto: Área blanca = ∫₀⁸ ∛x dx

Un error frecuente es calcular ∫₀⁸ (2 − ∛x) dx = 4 y dar ese valor como área blanca: esa integral mide la zona bajo la curva, la que se reparten el verde y el rojo. La blanca está encima, entre y = 2 y la curva, así que su altura es ∛x. Plantea siempre «techo menos suelo» y comprueba al final que las tres áreas suman 16.

Cuesta los puntos de «área blanca: planteamiento correcto de la integral»: 0,3 puntos de 2.

¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.