PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria
Pregunta 4.2: arista, volumen y vértice de un cubo apoyado en un plano
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- a)Lado = 2/3 y volumen = 8/27: P no está en la cara apoyada, así que el lado es la distancia de P al plano.
- b)Otro vértice es (13/9, 14/9, 11/9), la proyección ortogonal de P sobre el plano, que no depende de cómo se gire el cubo.
Pregunta 4.2
Se consideran el punto P(1, 2, 1) y el plano de ecuación 2x − 2y + z = 1. Se traza un cubo con una cara en el plano y un vértice en el punto P.
- a)Determine la longitud del lado de dicho cubo y su volumen. (1 p)
- b)Halle otro vértice del cubo. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Argumentar que la longitud del lado es la distancia del punto al plano0,4
- 02a) Cálculo de la distancia0,4
- 03a) Cálculo del volumen0,2
- 04b) Planteamiento geométrico para obtener un vértice0,5
- 05b) Cálculo del vértice: planteamiento0,3
- 06b) Cálculo del vértice: resolución0,2
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Dónde queda P respecto al plano?
Comprueba primero si P está en el plano. Si no lo está, piensa en qué cara del cubo queda P y qué separa esa cara de la que está apoyada.
Pista 2 · En b), ¿qué dirección sigue la arista desde P?
En b), la arista que sale de P hacia la cara apoyada es perpendicular al plano: su dirección es la del vector normal.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Justifica que el lado es la distancia de P al planoTribunal: argumentar que la longitud del lado es la distancia del punto al plano0,4
Llama π al plano 2x − 2y + z = 1 y sustituye P: 2·1 − 2·2 + 1 = −1 ≠ 1, así que P no está en la cara apoyada en π. Cada vértice de un cubo está en una cara o en su opuesta, de modo que P está en la cara opuesta, que es paralela a π. La distancia entre dos caras opuestas es la arista: la longitud del lado es la distancia de P a π.
02a · Calcula la distancia de P al planoTribunal: cálculo de la distancia0,4
Escribe el plano con todo en el primer miembro: 2x − 2y + z − 1 = 0. Su vector normal es n = (2, −2, 1), con |n| = √(4 + 4 + 1) = 3. La fórmula de la distancia de un punto a un plano da d(P, π) = |2·1 − 2·2 + 1 − 1| / 3 = |−2| / 3 = 2/3. El lado del cubo mide 2/3.
03a · Eleva el lado al cubo para obtener el volumenTribunal: cálculo del volumen0,2
El volumen de un cubo de lado ℓ es ℓ³. Con ℓ = 2/3 se obtiene V = (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27 unidades cúbicas.
04b · Razona qué vértice no depende de cómo se gire el cuboTribunal: planteamiento geométrico para obtener un vértice0,5
El cubo puede girar sobre el plano sin dejar de cumplir el enunciado, así que la mayoría de sus vértices dependen de esa orientación y hay más de una respuesta válida. Hay uno que no: la arista que sale de P hacia la cara apoyada es perpendicular a π, y su otro extremo es el pie de la perpendicular, la proyección ortogonal H de P sobre π. Ese punto es un vértice del cubo sea cual sea la orientación, y es el que conviene calcular.
05b · Plantea la perpendicular por P y su corte con el planoTribunal: cálculo del vértice: planteamiento0,3
La perpendicular a π por P tiene la dirección del vector normal n = (2, −2, 1): (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(2, −2, 1), es decir, x = 1 + 2t, y = 2 − 2t, z = 1 + t. El vértice H es el punto de esa recta que está en π: sustituye sus coordenadas en la ecuación del plano para obtener una ecuación en t.
06b · Resuelve la ecuación y comprueba el vérticeTribunal: cálculo del vértice: resolución0,2
Al operar queda 9t − 1 = 1, así que t = 2/9. Sustituye en la recta: H = (1 + 4/9, 2 − 4/9, 1 + 2/9) = (13/9, 14/9, 11/9). Comprueba las dos cosas que debe cumplir: 2·13/9 − 2·14/9 + 11/9 = 9/9 = 1, luego H está en el plano, y |PH| = (2/9)·|n| = (2/9)·3 = 2/3, que es el lado del cubo.
Error típico
No pasar todo al primer miembro antes de sustituir
Lo que se suele escribir: d(P, π) = |2 − 4 + 1|/3 = 1/3. Lo correcto: d(P, π) = |2 − 4 + 1 − 1|/3 = 2/3
Antes de aplicar la fórmula de la distancia, pasa todo al primer miembro: 2x − 2y + z − 1 = 0. Si sustituyes P solo en 2x − 2y + z y divides entre 3, obtienes |−1|/3 = 1/3, y el error se arrastra al volumen. No olvides tampoco el valor absoluto del numerador ni dividir entre la norma del vector normal, |n| = 3.
Cuesta los puntos de «cálculo de la distancia»: 0,4 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.