PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria
Pregunta 3.1: plano perpendicular, recta perpendicular y puntos a distancia √14 de un plano
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- a)2x − 7y − 4z + 6 = 0, de normal (2, 0, 1) × (1, 2, −3).
- b)(x + 11)/(−2) = y/7 = (z + 4)/4, por (−11, 0, −4) = r ∩ π.
- c)(17, 0, 10) y (−39, 0, −18), con t = 8 y t = −20 en (1 + 2t, 0, 2 + t), porque la distancia vale |t + 6|/√14.
Pregunta 3.1
Dados la recta r ≡ (x − 1)/2 = y/0 = (z − 2)/1 y el plano π: x + 2y − 3z = 1, se pide:
- a)Hallar una ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a π. (0,75 p)
- b)Hallar una ecuación de la recta contenida en π que corta perpendicularmente a r. (0,75 p)
- c)Calcular los puntos de la recta r cuya distancia al plano π es √14. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Planteamiento del apartado a)0,5
- 02a) Resolución del apartado a)0,25
- 03b) Planteamiento del apartado b)0,5
- 04b) Resolución del apartado b)0,25
- 05c) Planteamiento del apartado c)0,5
- 06c) Resolución del apartado c): primer punto0,25
- 07c) Resolución del apartado c): segundo punto0,25
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué datos te dan la recta y el plano?
Saca de la ecuación continua de r un punto y su vector director, y de π su vector normal: con esos vectores se construyen los tres apartados.
Pista 2 · ¿Cómo se escribe un punto cualquiera de r?
Un punto cualquiera de r depende de un parámetro: escribe su distancia a π en función de ese parámetro e iguálala al dato.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Toma un punto y dos vectores del planoTribunal: planteamiento del apartado a)0,5
De r ≡ (x − 1)/2 = y/0 = (z − 2)/1 lees el punto P = (1, 0, 2) y el vector director v = (2, 0, 1); el 0 del denominador solo indica que y = 0 en toda la recta. Si el plano contiene a r, pasa por P y contiene a v; si es perpendicular a π, contiene también al vector normal de π, n = (1, 2, −3). Como v y n no son proporcionales, P, v y n determinan el plano, y su vector normal es v × n.
02a · Calcula el normal y escribe el planoTribunal: resolución del apartado a)0,25
El producto vectorial da v × n = (−2, 7, 4). Con el punto P: −2(x − 1) + 7y + 4(z − 2) = 0, es decir, 2x − 7y − 4z + 6 = 0. Comprueba: P la cumple (2 − 0 − 8 + 6 = 0) y su normal (2, −7, −4) es perpendicular a n, porque 2 − 14 + 12 = 0.
03b · Plantea el punto de corte y la dirección de la rectaTribunal: planteamiento del apartado b)0,5
La recta pedida está en π y corta a r, así que pasa por el punto donde r atraviesa π; ese punto es único porque v·n = 2 + 0 − 3 = −1 ≠ 0, y r no es paralela a π. Su dirección w tiene que ser perpendicular a v (corta a r perpendicularmente) y a n (está contenida en π): sirve w = v × n = (−2, 7, 4), el vector del apartado a). Para el punto, escribe r en paramétricas, (1 + 2t, 0, 2 + t), y sustitúyelo en la ecuación de π.
04b · Halla el punto de corte y escribe la rectaTribunal: resolución del apartado b)0,25
Al sustituir, (1 + 2t) + 2·0 − 3(2 + t) = 1 da −t − 5 = 1, así que t = −6 y el punto es Q = (−11, 0, −4). La recta es (x + 11)/(−2) = y/7 = (z + 4)/4. Comprueba que Q está en π (−11 + 0 + 12 = 1) y que w es perpendicular a v (−4 + 0 + 4 = 0).
05c · Plantea la distancia de un punto cualquiera de r a πTribunal: planteamiento del apartado c)0,5
Un punto cualquiera de r es P(t) = (1 + 2t, 0, 2 + t). Con π: x + 2y − 3z − 1 = 0, su distancia es |(1 + 2t) + 0 − 3(2 + t) − 1|/√(1² + 2² + (−3)²) = |t + 6|/√14. Iguálala al dato: |t + 6|/√14 = √14, es decir, |t + 6| = 14.
06c · Resuelve el valor absoluto y da los dos puntosTribunal: resolución del apartado c): primer punto · resolución del apartado c): segundo punto0,5
|t + 6| = 14 tiene dos soluciones: t + 6 = 14, que da t = 8 y el punto (17, 0, 10), y t + 6 = −14, que da t = −20 y el punto (−39, 0, −18). Comprueba los dos: |17 + 0 − 30 − 1|/√14 = 14/√14 = √14 y |−39 + 0 + 54 − 1|/√14 = √14. Quedan uno a cada lado de π, a la misma distancia del punto de corte Q (t = −6 ± 14).
Error típico
Quedarse con una sola solución del valor absoluto
Lo que se suele escribir: |t + 6| = 14 ⇔ t = 8. Lo correcto: |t + 6| = 14 ⇔ t = 8 o t = −20
Al quitar el valor absoluto de |t + 6| = 14 es frecuente resolver solo t + 6 = 14 y dar un único punto. Pero hay dos puntos de r a distancia √14 de π, uno a cada lado del plano, y el tribunal da 0,25 puntos por cada uno. Plantea siempre los dos casos, t + 6 = 14 y t + 6 = −14, y comprueba ambos puntos en la fórmula de la distancia.
Cuesta los puntos de «resolución del apartado c): segundo punto»: 0,25 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.1 o la 3.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.