PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria
Pregunta 1.2: polinomio det(A − λI), sus raíces y un vector que cumple (A − 5I)v⃗ = 0⃗
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- a)P(λ) = −λ³ + 9λ² − 24λ + 20 = −(λ − 2)²(λ − 5), con raíces λ = 2 (doble) y λ = 5: se desarrolla det(A − λI) por la tercera columna.
- b)v = (3, 3, 5): (A − 5I)v = 0 da y = x y 3z = 5x, y se toma x = 3.
Pregunta 1.2
Sean la matriz A, que se muestra en la tabla siguiente, e I la matriz identidad de orden 3. Se pide:
- a)Calcular el polinomio P(λ) = det(A − λI) y hallar las raíces reales del polinomio. (1,25 p)
- b)Para λ = 5, calcular un vector no nulo v⃗ = (x, y, z), escrito como vector columna, que satisfaga que (A − λI)v⃗ = 0⃗. (1,25 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: planteamiento del apartado a): el polinomio P(λ) = det(A − λI) y planteamiento del apartado b): el sistema (A − 5I)v⃗ = 0⃗.
- 01a) Planteamiento del apartado a): el polinomio P(λ) = det(A − λI)0,75
- 02a) Resolución del apartado a)0,5
- 03b) Planteamiento del apartado b): el sistema (A − 5I)v⃗ = 0⃗0,75
- 04b) Resolución del apartado b)0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Por dónde desarrollar el determinante?
Resta λ solo en la diagonal de A y desarrolla el determinante por la fila o columna con más ceros: así sale ya factorizado.
Pista 2 · ¿Qué tipo de sistema es (A − 5I)v = 0?
Sustituye λ = 5 y escribe las ecuaciones del sistema homogéneo. Comprueba cuáles son independientes y, si queda una variable libre, úsala como parámetro para buscar un vector no nulo.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Escribe A − λI y desarrolla su determinanteTribunal: planteamiento del apartado a): el polinomio P(λ) = det(A − λI)0,75
A − λI se obtiene restando λ solo en la diagonal de A: filas (4 − λ, 1, 0), (2, 3 − λ, 0) y (3, 2, 2 − λ). La tercera columna tiene dos ceros, así que conviene desarrollar por ella: P(λ) = (2 − λ)·[(4 − λ)(3 − λ) − 2] = (2 − λ)(λ² − 7λ + 10). Multiplicando, P(λ) = −λ³ + 9λ² − 24λ + 20.
02a · Halla las raíces reales de P(λ)Tribunal: resolución del apartado a)0,5
Con la forma factorizada no hace falta Ruffini: el factor 2 − λ da λ = 2, y λ² − 7λ + 10 = 0 da λ = (7 ± 3)/2, es decir, λ = 5 y λ = 2. Así, P(λ) = −(λ − 2)²(λ − 5): las raíces reales son λ = 2, que es doble, y λ = 5. Comprueba: P(5) = −125 + 225 − 120 + 20 = 0.
03b · Plantea el sistema homogéneo (A − 5I)v = 0Tribunal: planteamiento del apartado b): el sistema (A − 5I)v⃗ = 0⃗0,75
Para λ = 5, A − 5I tiene filas (−1, 1, 0), (2, −2, 0) y (3, 2, −3), y (A − 5I)v = 0 es el sistema −x + y = 0, 2x − 2y = 0, 3x + 2y − 3z = 0. Es homogéneo y su determinante es P(5) = 0, así que es compatible indeterminado: tiene soluciones no nulas. La segunda ecuación es la primera multiplicada por −2, de modo que quedan dos ecuaciones independientes.
04b · Resuelve y elige un vector no nuloTribunal: resolución del apartado b)0,5
De −x + y = 0 sale y = x. En la tercera ecuación, 3x + 2x − 3z = 0, así que 3z = 5x y z = 5x/3. Las soluciones son (t, t, 5t/3) con t ∈ ℝ; para que no haya fracciones toma t = 3: v = (3, 3, 5). Comprueba: −3 + 3 = 0, 6 − 6 = 0 y 9 + 6 − 15 = 0. Cualquier múltiplo no nulo de (3, 3, 5) también vale.
Error típico
Invertir la fracción al despejar z
Lo que se suele escribir: z = 3x/5. Lo correcto: z = 5x/3
Despejar mal la tercera incógnita en b): de 3x + 2y − 3z = 0 con y = x sale 5x = 3z, y es fácil escribir z = 3x/5 en lugar de z = 5x/3. Con ese despeje el vector sería (5, 5, 3), que no cumple la tercera ecuación (15 + 10 − 9 = 16 ≠ 0), y se pierde la resolución. Cierra siempre el apartado multiplicando (A − 5I) por tu vector: tiene que dar el vector nulo.
Cuesta los puntos de «resolución del apartado b)»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 1 eliges una de dos opciones: la 1.2 o la 1.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.