Matemáticas II · Madrid · Bloque de álgebra
Determinantes en la PAU de Madrid: ejercicios resueltos
8 ejercicios resueltos de determinantes de Matemáticas II: ordinaria y modelo de 2025, ordinaria, ordinaria · incidencias, extraordinaria y modelo de 2026 y modelo de 2027. Aquí tienes el método, los ejercicios y los errores que más puntos cuestan.
8ejercicios resueltos de 2025, 2026 y 2027
2024: aún sin clasificar por temas. Tienes los PDF oficiales en la página de la asignatura.
El método, criterio a criterio
Así reparte el tribunal los 2 puntos de la 1 de la ordinaria de 2026, paso a paso:
- a · Calcula det(A) y halla los dos valores de λ que lo anulan0,4/2Cálculo de los dos valores de λ para la discusión
- a · Justifica que el rango es 2 cuando λ = 1 o λ = 30,3/2Justificación de los valores de λ para rango 2
- a · Justifica que el rango es 3 en el resto de casos0,3/2Justificación de los valores de λ para rango 3
- b · Despeja X respetando el orden del producto0,3/2Expresión correcta para calcular X
- b · Calcula la inversa de A para λ = 20,5/2Cálculo de la matriz inversa A⁻¹
- b · Calcula X y compruébala en la ecuación0,2/2Respuesta correcta
Los criterios son los oficiales del examen. Los pasos y las explicaciones son nuestros.
Ejercicios de determinantes
- Madrid 2026 · Ordinaria · 12 puntosDada la matriz real A, se pide:
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 32 puntosSea r la recta que pasa por A(1, 2, −5) y B(2, 4, −11), sea s la recta dada por la intersección de los planos x − 2y + 3z = 3, x − y = 0, y sea t la recta paralela a s que pasa por C(1, 0, 0).
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 32 puntosSe consideran las matrices A, B y C. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (2, −1), (1, 0) y (−1, −2). La matriz C tiene, en este orden, las filas (1, 0, 0), (−1, 1, 0) y (0, −1, 1).
- Madrid 2025 · Ordinaria · 1.22,5 puntosSean la matriz A, que se muestra en la tabla siguiente, e I la matriz identidad de orden 3. Se pide:
- Madrid 2027 · Modelo · 4.12 puntosDado el sistema de ecuaciones formado por (a + 2)x + y + z = a, x − ay + 3z = 0 y 3x + ay + z = 1, se pide:
- Madrid 2027 · Modelo · 4.22 puntosSe considera la matriz A de la tabla siguiente, donde a es un número real.
- Madrid 2026 · Modelo · 4.22 puntosSea el sistema de ecuaciones formado por x + 2y − z = 2, 2x + λy + z = 7 y x + 2y + λz = 2. Se pide:
- Madrid 2025 · Modelo · 1.12,5 puntosSea λ un número real y considérense las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (1, λ), (0, −1) y (1, −λ). Se pide:
Otros años · aún sin clasificar por temas
- 2024Ordinaria y ExtraordinariaOrdinaria de 2024: PDF oficialExtraordinaria de 2024: PDF oficialSolo PDF oficial
Errores que más puntos quitan
Ordenados por lo que vale el criterio que te juegas.
Discusión correcta del sistema según los valores de a · 0,75
Ver que det(AᵗA) = 0 y concluir sin más que el sistema es compatible indeterminado para cualquier a. Un determinante nulo solo dice que el sistema no puede ser compatible determinado; para saber si tiene solución hay que comparar el rango de AᵗA con el de la ampliada, y aquí la ampliada sube a rango 3 en cuanto a(2 − a) ≠ 0. Sin esa comparación, la discusión pierde casi todos sus 0,75 puntos.
Madrid 2025 · Modelo · 1.1: ver el ejercicioResolución del apartado b) · 0,5
Despejar mal la tercera incógnita en b): de 3x + 2y − 3z = 0 con y = x sale 5x = 3z, y es fácil escribir z = 3x/5 en lugar de z = 5x/3. Con ese despeje el vector sería (5, 5, 3), que no cumple la tercera ecuación (15 + 10 − 9 = 16 ≠ 0), y se pierde la resolución. Cierra siempre el apartado multiplicando (A − 5I) por tu vector: tiene que dar el vector nulo.
Madrid 2025 · Ordinaria · 1.2: ver el ejercicioArgumentación de que la potencia es invertible · 0,4
Hallar los valores que anulan det A y dar la respuesta sin justificar por qué valen también para A²⁰²⁶: esa argumentación vale 0,4 puntos. Escribe la propiedad det(A²⁰²⁶) = (det A)²⁰²⁶ y concluye que solo se anula cuando det A = 0. Y no confundas «invertible» con «det A > 0»: basta con que el determinante sea distinto de cero.
Madrid 2027 · Modelo · 4.2: ver el ejercicio
Los conceptos, explicados
Qué dice cada uno, cómo se aplica en el examen y una figura para verlo en movimiento. Todos los conceptos.
Corregir con foto · muy pronto
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Ejercicios resueltos de la PAU de Madrid, agrupados por lo que te preguntan. Todos los exámenes.
Preguntas frecuentes
Sobre determinantes en Matemáticas II de Madrid.
¿Cuánto valen los ejercicios de determinantes en la PAU de Madrid?
En los exámenes resueltos de Matemáticas II: la 1 de la ordinaria de 2026 (2 puntos), la 3 de la ordinaria · incidencias de 2026 (2 puntos), la 3 de la extraordinaria de 2026 (2 puntos), la 1.2 de la ordinaria de 2025 (2,5 puntos), la 4.1 del modelo de 2027 (2 puntos) y la 4.2 del modelo de 2027 (2 puntos). Las preguntas con número 4.1, 5.2… son optativas: eliges una de las dos de su grupo.
¿Puedo corregirme un ejercicio de determinantes?
Todavía no con foto: corregir con foto abre muy pronto. Mientras tanto, compara tu folio con la solución paso a paso de los 8 ejercicios resueltos de esta página y márcate con los criterios oficiales.
¿Hay ejercicios de determinantes de otros años?
Sí, pero aún no los hemos resuelto ni clasificado por temas. De 2024 tienes el PDF oficial de la universidad en la página de Matemáticas II de Madrid.