PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias

Pregunta 3: posición relativa de dos rectas y distancia entre paralelas o ángulo

Tema · Matrices
Obligatoria
Solución verificada

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a)r y s son secantes, en (0, 0, 1): no son paralelas y son coplanarias.
b1)d(s, t) = √646/19 ≈ 1,34 u, de C a s.
b2)cos α = 3/√779 = 3√779/779 ≈ 0,11: el producto escalar de los directores, 3, en valor absoluto, entre sus módulos √41 y √19.

Pregunta 3

PAU Madrid 2026 · Ordinaria · incidenciasGeometría2 puntos

Sea r la recta que pasa por A(1, 2, −5) y B(2, 4, −11), sea s la recta dada por la intersección de los planos x − 2y + 3z = 3, x − y = 0, y sea t la recta paralela a s que pasa por C(1, 0, 0).

a)Determine la posición relativa de r y s. (1 p)
b)
Responda solo a uno de los dos apartados siguientes. (1 p)
1. b1)Halle la distancia entre s y t. (1 p)
2. b2)Halle el coseno del ángulo que forman r y s. (1 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos.

Los criterios, a escala3puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Obtención del vector director de r0,2
02a) Obtención del vector director de s0,2
03a) Independencia lineal de los vectores directores0,1
04a) Determinación de un vector a partir de un punto de cada recta0,2
05a) Estudio del rango de la matriz formada por los tres vectores0,2
06a) Respuesta correcta0,1
07b1) Planteamiento geométrico: al ser paralelas, basta tomar un punto de una de ellas0,5
08b1) Cálculo de la distancia: planteamiento0,3
09b1) Cálculo de la distancia: resolución0,2
10b2) Planteamiento (b2)0,5
11b2) Resolución (b2)0,5

Penalización: Coseno del ángulo calculado sin el valor absoluto (−0,1).

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Cómo sacar el director de s?

s viene como corte de dos planos: su vector director es perpendicular a los dos vectores normales. Para r basta con el vector que une los dos puntos dados.

Pista 2 · ¿Qué distingue secantes de cruzadas?

Si los directores no son proporcionales, las rectas se cortan o se cruzan. Lo decide el rango de la matriz con los dos directores y un vector que una un punto de r con uno de s.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Halla los vectores directores de r y de sTribunal: obtención del vector director de r · obtención del vector director de s0,4
Para r, toma el vector que une los dos puntos dados: u = AB = (2 − 1, 4 − 2, −11 + 5) = (1, 2, −6). La recta s viene como corte de dos planos, así que su director es perpendicular a las dos normales, n₁ = (1, −2, 3) y n₂ = (1, −1, 0): su producto vectorial da v = (3, 3, 1). Compruébalo: v·n₁ = 3 − 6 + 3 = 0 y v·n₂ = 3 − 3 = 0.
$\vec{u} = \vec{A B} = (1, 2, - 6)$
$\vec{v} = {\vec{n}}_{1} \times {\vec{n}}_{2} = | \begin{matrix} \vec{ı} & \vec{ȷ} & \vec{k} \\ 1 & - 2 & 3 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix} | = (3, 3, 1)$
Tribunal
Obtención de los vectores directores de r y s: 0,2 puntos cada uno.
0,4de 2
02a · Comprueba que los directores no son proporcionalesTribunal: independencia lineal de los vectores directores0,1
Compara componente a componente: 1/3 ≠ 2/3, así que u y v no son proporcionales y el rango de {u, v} es 2. Con eso r y s no son paralelas ni coincidentes: solo pueden cortarse o cruzarse, y eso es lo que decide el paso siguiente.
Tribunal
Independencia lineal de los mismos: 0,1 puntos.
0,1de 2
03a · Une un punto de r con un punto de sTribunal: determinación de un vector a partir de un punto de cada recta0,2
Busca un punto de s: con x − y = 0, pon x = y en el primer plano y queda −y + 3z = 3; para y = 0 sale z = 1, así que P(0, 0, 1) está en s (cumple las dos ecuaciones). El vector que une A ∈ r con P ∈ s es AP = (0 − 1, 0 − 2, 1 + 5) = (−1, −2, 6).
Tribunal
Determinación de un vector a partir de un punto de cada recta: 0,2 puntos.
0,2de 2
04a · Estudia el rango de los tres vectores y concluyeTribunal: estudio del rango de la matriz formada por los tres vectores · respuesta correcta0,3
El determinante de la matriz con u, v y AP vale 0, así que su rango es 2: los tres vectores son coplanarios y las rectas están en un mismo plano. Como además no son paralelas, r y s son secantes. Se ve también sin calcular: AP = −u, de modo que P = A − u también está en r, y (0, 0, 1) es el punto de corte.
$| \begin{matrix} 1 & 2 & - 6 \\ 3 & 3 & 1 \\ - 1 & - 2 & 6 \end{matrix} | = 0 ⟹ rg (\vec{u}, \vec{v}, \vec{A P}) = 2 = rg (\vec{u}, \vec{v})$
Tribunal
Estudio del rango de la matriz formada por los tres vectores: 0,2 puntos. Respuesta correcta: 0,1 puntos.
0,3de 2
05b1 · Reduce la distancia entre paralelas a la de un puntoTribunal: planteamiento geométrico: al ser paralelas, basta tomar un punto de una de ellas0,5
t tiene el mismo director v = (3, 3, 1) que s, y C(1, 0, 0) no está en s porque x − y = 1 ≠ 0: son paralelas distintas. Entre dos rectas paralelas la distancia es la misma desde cualquier punto de una a la otra, así que basta tomar C ∈ t y calcular d(s, t) = d(C, s).
Tribunal
Planteamiento geométrico (al ser paralelas hay que coger un punto): 0,5 puntos.
0,5de 2
06b1 · Plantea la distancia de C a s con el producto vectorialTribunal: cálculo de la distancia: planteamiento0,3
Con P(0, 0, 1) ∈ s y su director v, la distancia de C a s es el módulo de PC × v entre el módulo de v: el producto vectorial da el área del paralelogramo, y al dividir por la base |v| queda la altura, que es la distancia. Aquí PC = (1, 0, −1).
$d (C, s) = \frac{| \vec{P C} \times \vec{v} |}{| \vec{v} |}$
Tribunal
Cálculo de la distancia: 0,5 puntos (planteamiento: 0,3 puntos, resolución: 0,2 puntos).
0,3de 2
07b1 · Calcula la distanciaTribunal: cálculo de la distancia: resolución0,2
PC × v = (1, 0, −1) × (3, 3, 1) = (3, −4, 3), de módulo √34, y |v| = √19. Así d(s, t) = √34/√19 = √646/19 ≈ 1,34 u. Comprueba el producto vectorial: (3, −4, 3) es perpendicular a PC (3 − 3 = 0) y a v (9 − 12 + 3 = 0).
$\vec{P C} \times \vec{v} = (3, - 4, 3)$
$d (s, t) = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{646}}{19} \approx 1,34 u$
Tribunal
Cálculo de la distancia: 0,5 puntos (planteamiento: 0,3 puntos, resolución: 0,2 puntos).
0,2de 2
08b2 · Plantea el coseno con los vectores directoresTribunal: planteamiento (b2)0,5
El ángulo entre dos rectas es el que forman sus vectores directores, tomado entre 0° y 90°. Por eso el coseno es el valor absoluto del producto escalar de u y v dividido entre el producto de sus módulos: así el resultado no depende del sentido que elijas para cada director.
$\cos α = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{v} |}{| \vec{u} | | \vec{v} |}$
Tribunal
Planteamiento: 0,5 puntos.
0,5de 2
09b2 · Calcula el coseno con el valor absolutoTribunal: resolución (b2)0,5
u·v = (1, 2, −6)·(3, 3, 1) = 3 + 6 − 6 = 3, |u| = √41 y |v| = √19. Así cos α = 3/(√41·√19) = 3/√779 = 3√779/779 ≈ 0,11, que corresponde a un ángulo de unos 83,8°. Aquí el producto escalar ya es positivo, pero escribe las barras del valor absoluto igualmente: sin ellas el tribunal resta 0,1 puntos.
$\cos α = \frac{| 3 |}{\sqrt{41} \sqrt{19}} = \frac{3}{\sqrt{779}} = \frac{3 \sqrt{779}}{779} \approx 0,11$
Tribunal
Resolución: 0,5 puntos. Se restan 0,1 puntos si no se pone el valor absoluto.
0,5de 2

Error típico

Dar por cruzadas dos rectas solo porque no son paralelas

Lo que se suele escribir: ~~u, v no proporcionales ⇒ se cruzan~~. Lo correcto: rg(u, v, AP) = 2 ⇒ secantes

Muchos alumnos ven que u = (1, 2, −6) y v = (3, 3, 1) no son proporcionales y concluyen directamente que r y s se cruzan. Que no sean paralelas solo descarta dos casos: falta comprobar si están en un mismo plano. Para eso necesitas el vector AP entre un punto de cada recta y el rango de {u, v, AP}; aquí vale 2, así que se cortan. Sin ese estudio pierdes los puntos del rango y los de la respuesta.

Cuesta los puntos de «estudio del rango de la matriz formada por los tres vectores»: 0,2 puntos de 2.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.