PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias

Pregunta 2: extremos relativos y área de f(x) = |x² − 6x + 5|

Tema · Derivadas
Concepto · Derivada y recta tangente
Concepto · Integral definida y regla de Barrow
Obligatoria
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)máximo relativo en (3, 4) y mínimos relativos en (1, 0) y (5, 0): f′ solo se anula en x = 3 y en x = 1 y x = 5 hay picos.
b)23/3 u² ≈ 7,67 u²: se integra −x² + 6x − 5 en [3, 5] y x² − 6x + 5 en [5, 6].

Pregunta 2

PAU Madrid 2026 · Ordinaria · incidenciasAnálisis2 puntos

Dada la función real de variable real f(x) = |x² − 6x + 5|, se pide:

a)Hallar dónde se alcanzan los máximos y mínimos relativos de f(x), así como sus correspondientes valores. (1 p)
b)Calcular el área del recinto delimitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = 3 y x = 6. (1 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

Empieza a estudiar · muy pronto

Corregir con foto abre muy pronto

Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos.

Los criterios, a escala2puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Expresión de f(x) como función a trozos0,2
02a) Derivada0,2
03a) Cálculo de los extremos relativos con la condición f′(x) = 00,2
04a) Determinación de máximo o mínimo0,2
05a) Identificación del extremo relativo en x = 10,1
06a) Identificación del extremo relativo en x = 50,1
07b) Integral escrita como suma de dos integrales: primera integral0,2
08b) Integral escrita como suma de dos integrales: segunda integral0,2
09b) Cálculo de la primitiva0,3
10b) Regla de Barrow0,2
11b) Respuesta correcta0,1

Penalización: No dar los valores máximos y mínimos de la función (−0,1).

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Dónde cambia de signo lo de dentro?

Factoriza x² − 6x + 5 y estudia su signo: así quitas el valor absoluto y escribes f a trozos. Ten en cuenta que donde se unen los trozos f puede no ser derivable, y aun así haber un extremo.

Pista 2 · ¿Puedes integrar de un solo tramo?

Para el área, mira qué expresión tiene f en cada parte del intervalo [3, 6] y separa la integral donde cambie.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Quita el valor absoluto y escribe f a trozosTribunal: expresión de f(x) como función a trozos0,2
Lo de dentro se factoriza: x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5). Es una parábola que se abre hacia arriba, así que es positiva fuera de [1, 5] y negativa entre 1 y 5. Donde es negativa, el valor absoluto le cambia el signo.
$f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 6 x + 5 & si x \leq 1 o x \geq 5 \\ - x^{2} + 6 x - 5 & si 1 < x < 5 \end{matrix}$
Tribunal
Función a trozos: 0,2 puntos.
0,2de 2
02a · Deriva cada trozoTribunal: derivada0,2
En cada trozo abierto se deriva el polinomio. En x = 1 las derivadas laterales valen −4 y 4, y en x = 5 valen −4 y 4: no coinciden, así que f no es derivable en esos dos puntos (son picos de la gráfica).
$f^{'} (x) = {\begin{matrix} 2 x - 6 & si x < 1 o x > 5 \\ - 2 x + 6 & si 1 < x < 5 \end{matrix}$
Tribunal
Derivada: 0,2 puntos.
0,2de 2
03a · Resuelve f′(x) = 0 en cada trozoTribunal: cálculo de los extremos relativos con la condición f′(x) = 00,2
En el trozo exterior, 2x − 6 = 0 da x = 3, que no está en x < 1 ni en x > 5: se descarta. En el trozo central, −2x + 6 = 0 da x = 3, que sí está en (1, 5). El único punto con derivada nula es x = 3.
Tribunal
Cálculo de los extremos relativos con la condición f′(x) = 0: 0,2 puntos.
0,2de 2
04a · Decide qué tipo de extremo hay en x = 3Tribunal: determinación de máximo o mínimo0,2
En (1, 3) f′(x) = −2x + 6 es positiva y en (3, 5) es negativa: f crece y luego decrece, así que en x = 3 hay un máximo relativo. Da también su valor: f(3) = |9 − 18 + 5| = 4. El máximo es el punto (3, 4).
Tribunal
Determinación de máximo o mínimo: 0,2 puntos.
0,2de 2
05a · Localiza los mínimos en los picos x = 1 y x = 5Tribunal: identificación del extremo relativo en x = 1 · identificación del extremo relativo en x = 50,2
La condición f′(x) = 0 no los detecta porque ahí f no es derivable, pero son extremos. Para x < 1, f′ = 2x − 6 es negativa y en (1, 3) es positiva; para x > 5 es positiva y en (3, 5) negativa. Así que f decrece y luego crece alrededor de x = 1 y de x = 5: hay mínimos relativos, con f(1) = f(5) = 0. Lo confirma que f ≥ 0 siempre. Escribe los puntos (1, 0) y (5, 0) con su valor.
Tribunal
Identificación de los extremos relativos en x = 1 y x = 5: 0,1 puntos cada uno. Si no se dan los valores máximos y mínimos de la función se restan 0,1 puntos.
0,2de 2
06b · Separa la integral donde cambia la expresión de fTribunal: integral escrita como suma de dos integrales: primera integral · integral escrita como suma de dos integrales: segunda integral0,4
Como f ≥ 0, el área es la integral de f entre 3 y 6. Pero f cambia de expresión en x = 5: en [3, 5] vale −x² + 6x − 5 y en [5, 6] vale x² − 6x + 5. Por eso el área se escribe como suma de dos integrales.
$A = \int_{3}^{5} (- x^{2} + 6 x - 5) d x + \int_{5}^{6} (x^{2} - 6 x + 5) d x$
Tribunal
Integral a resolver escrita como suma de dos integrales: 0,2 puntos cada una.
0,4de 2
07b · Calcula la primitivaTribunal: cálculo de la primitiva0,3
Una primitiva de x² − 6x + 5 es G(x) = x³/3 − 3x² + 5x, que se comprueba derivando. La del trozo central es −G(x), porque el integrando es el mismo polinomio cambiado de signo.
$G (x) = \int (x^{2} - 6 x + 5) d x = \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 5 x$
Tribunal
Cálculo de la primitiva: 0,3 puntos.
0,3de 2
08b · Aplica la regla de Barrow en cada integralTribunal: regla de Barrow0,2
Con G(3) = −3, G(5) = −25/3 y G(6) = −6: la primera integral vale −(G(5) − G(3)) = −(−25/3 + 3) = 16/3, y la segunda, G(6) − G(5) = −6 + 25/3 = 7/3. Las dos son positivas, como debe ser un área.
$[- G (x)]_{3}^{5} = \frac{16}{3}, [G (x)]_{5}^{6} = \frac{7}{3}$
Tribunal
Regla de Barrow: 0,2 puntos.
0,2de 2
09b · Suma y da el área con unidadesTribunal: respuesta correcta0,1
El área es 16/3 + 7/3 = 23/3 u² ≈ 7,67 u². Si hubieras integrado x² − 6x + 5 de 3 a 6 sin quitar el valor absoluto, saldría −3: un área negativa avisa de que algo falla.
$A = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} u^{2} \approx 7,67 u^{2}$
Tribunal
Respuesta correcta: 0,1 puntos.
0,1de 2

Error típico

Quitar el valor absoluto sin mirar el signo

Lo que se suele escribir: ~~f(x) = x² − 6x + 5 en [3, 5]~~. Lo correcto: f(x) = −x² + 6x − 5 en [3, 5]

Quitar el valor absoluto sin mirar el signo e integrar x² − 6x + 5 en todo [3, 6]. Entre 1 y 5 ese polinomio es negativo, así que ahí f vale −x² + 6x − 5. Si no lo cambias, la integral sale −3 en lugar de 23/3 y pierdes los puntos de las dos integrales y de la respuesta. Antes de integrar, factoriza, mira el signo en cada tramo y separa la integral en x = 5.

Cuesta los puntos de «integral escrita como suma de dos integrales: primera integral»: 0,2 puntos de 2.

¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos

Sigue practicando

Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.