PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada

Pregunta 2.1: continuidad, extremos y área de una función a trozos con raíz

Tema · Derivadas
Concepto · Continuidad de una función
Concepto · Integral definida y regla de Barrow
Opcional · 2.1 o 2.2
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)f es continua en todo ℝ: en x = 2 ambos laterales dan 3.
b)mínimo relativo en (2, 3), sin máximos relativos: f′ pasa de − a +.
c)(11 + 28√14)/15 ≈ 7,72 u²: se parte la integral en x = 2 y se aplica Barrow.

Pregunta 2.1

PAU Madrid modelo 2025Análisis2,5 puntos

Sea la función f(x) = x² − 6x + 11 si x < 2; f(x) = √(5x − 1) si x ≥ 2.

a)Estudie la continuidad de la función en ℝ. (0,5 p)
b)Estudie los extremos relativos de la función en el intervalo (1, 3). (1 p)
c)Calcule el área encerrada por la función y el eje OX entre x = 1 y x = 3. (1 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Continuidad para x ≠ 20,25
02a) Continuidad en x = 20,25
03b) Planteamiento del apartado b)0,5
04b) Resolución del apartado b)0,5
05c) Planteamiento del área como integral entre x = 1 y x = 30,25
06c) Cálculo de la primitiva del primer tramo0,25
07c) Cálculo de la primitiva del segundo tramo0,25
08c) Aplicación correcta de la regla de Barrow0,25

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué pasa donde cambia la fórmula?

Fuera de x = 2 cada tramo es una función conocida; en x = 2 compara los límites laterales con f(2). Al buscar extremos, no descartes los puntos donde f no es derivable.

Pista 2 · ¿Hay que partir la integral?

El área entre 1 y 3 cruza el cambio de fórmula: divide la integral en x = 2 y comprueba antes el signo de f en cada tramo.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Justifica la continuidad fuera de x = 2Tribunal: continuidad para x ≠ 20,25
Para x < 2, f(x) = x² − 6x + 11 es un polinomio, continuo en todo punto. Para x > 2, f(x) = √(5x − 1) es continua donde el radicando es positivo, 5x − 1 > 0, es decir, x > 1/5, y eso incluye todo x > 2. El único punto que hay que estudiar aparte es x = 2, donde cambia la fórmula.
Tribunal
Por la continuidad para x ≠ 2: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
02a · Comprueba la continuidad en x = 2Tribunal: continuidad en x = 20,25
El valor es f(2) = √(10 − 1) = 3. Por la izquierda, el límite de x² − 6x + 11 cuando x → 2⁻ es 4 − 12 + 11 = 3; por la derecha, el de √(5x − 1) cuando x → 2⁺ es √9 = 3. Los dos límites laterales coinciden con f(2), así que f es continua en x = 2 y, por tanto, en todo ℝ.
$\lim_{x \to 2^{-}} (x^{2} - 6 x + 11) = 3, \lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{5 x - 1} = 3 = f (2)$
Tribunal
Por la continuidad en x = 2: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
03b · Plantea los candidatos con la derivadaTribunal: planteamiento del apartado b)0,5
Deriva cada tramo: f′(x) = 2x − 6 si 1 < x < 2 y f′(x) = 5/(2√(5x − 1)) si 2 < x < 3. Los candidatos a extremo son los puntos donde f′ se anula y los puntos donde f no es derivable. 2x − 6 = 0 da x = 3, que no está en (1, 2), y la fracción nunca vale 0. Queda x = 2: las derivadas laterales valen −2 y 5/6, distintas, así que f no es derivable ahí, pero es continua y hay que estudiarlo.
$f^{'} (x) = {\begin{matrix} 2 x - 6 & si 1 < x < 2 \\ \frac{5}{2 \sqrt{5 x - 1}} & si 2 < x < 3 \end{matrix}$
Tribunal
Planteamiento: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
04b · Estudia el signo de f′ y concluyeTribunal: resolución del apartado b)0,5
En (1, 2), 2x − 6 < 0 (vale como mucho −2), así que f decrece. En (2, 3), 5/(2√(5x − 1)) > 0, así que f crece. Como f es continua en x = 2 y pasa de decrecer a crecer, tiene un mínimo relativo en (2, f(2)) = (2, 3). No hay máximos relativos: x = 1 y x = 3 no pertenecen al intervalo abierto (1, 3).
Tribunal
Resolución: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
05c · Plantea el área partiendo la integral en x = 2Tribunal: planteamiento del área como integral entre x = 1 y x = 30,25
Antes de integrar, mira el signo: en [1, 2), x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2 ≥ 2, y en [2, 3] la raíz es positiva. Como f > 0 en todo [1, 3], el área es la integral de f sin valor absoluto, partida en x = 2, donde cambia la fórmula.
$A = \int_{1}^{2} (x^{2} - 6 x + 11) d x + \int_{2}^{3} \sqrt{5 x - 1} d x$
Tribunal
Planteamiento: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
06c · Calcula las primitivas de los dos tramosTribunal: cálculo de la primitiva del primer tramo · cálculo de la primitiva del segundo tramo0,5
El primer tramo es un polinomio: F₁(x) = x³/3 − 3x² + 11x. El segundo es una potencia de una función lineal, √(5x − 1) = (5x − 1)^(1/2), así que F₂(x) = (2/15)·(5x − 1)^(3/2): el 1/5 compensa la derivada de 5x − 1. Compruébalo derivando: (2/15)·(3/2)·5·(5x − 1)^(1/2) = √(5x − 1).
$F_{1} (x) = \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 11 x, F_{2} (x) = \frac{2}{15} {(5 x - 1)}^{3 / 2}$
Tribunal
Cálculo de primitivas: 0,5 puntos (0,25 puntos cada una).
0,5de 2,5
07c · Aplica Barrow en cada tramo y sumaTribunal: aplicación correcta de la regla de Barrow0,25
Primer tramo: F₁(2) − F₁(1) = 38/3 − 25/3 = 13/3. Segundo tramo: F₂(3) − F₂(2) = (2/15)·14√14 − (2/15)·27 = 28√14/15 − 18/5. Sumando, A = 13/3 − 18/5 + 28√14/15 = (11 + 28√14)/15 ≈ 7,72 u². En [1, 3], 3 ≤ f(x) ≤ 6; por tanto, 6 ≤ A ≤ 12 u², compatible con el resultado obtenido.
$[\frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 11 x]_{1}^{2} = \frac{13}{3}, [\frac{2}{15} (5 x - 1)^{3 / 2}]_{2}^{3} = \frac{28 \sqrt{14}}{15} - \frac{18}{5}$
$A = \frac{11 + 28 \sqrt{14}}{15} \approx 7,72 u^{2}$
Tribunal
Aplicación correcta de la regla de Barrow: 0,25 puntos.
0,25de 2,5

Error típico

Buscar extremos solo donde se anula la derivada

Lo que se suele escribir: ~~f no tiene extremos en (1, 3)~~. Lo correcto: mínimo relativo en (2, 3)

Al estudiar los extremos es habitual buscar solo dónde f′(x) = 0: 2x − 6 se anula en x = 3, fuera del intervalo, y la derivada de la raíz nunca se anula, así que se concluye que no hay extremos. Pero un extremo también puede estar donde f no es derivable. En x = 2, f es continua, decrece a la izquierda y crece a la derecha: hay un mínimo. Mete siempre en la lista de candidatos los puntos de cambio de fórmula.

Cuesta los puntos de «planteamiento del apartado b)»: 0,5 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Sigue practicando

Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Esta pregunta salió en la PAU?

No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.