PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada

Pregunta 3.2: tres planos: ángulos, intersección y proyecciones ortogonales de un punto

Tema · Sistemas con parámetro
Opcional · 3.2 o 3.1
Solución verificada

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a)π₁ y π₂ forman 90°, π₁ y π₃ forman 90°, π₂ y π₃ forman 90° y se cortan en el origen O(0, 0, 0): normales ortogonales y determinante 27 ≠ 0.
b)P(1, 2, 3) y Q₃(2, 0, 1): P es el corte de las perpendiculares a π₁ por Q₁ y a π₂ por Q₂, y Q₃ el pie de la perpendicular a π₃ por P.

Pregunta 3.2

PAU Madrid modelo 2025Geometría2,5 puntos

Dados los tres planos π₁: −2x − 2y + z = 0; π₂: −2x + y − 2z = 0 y π₃: x − 2y − 2z = 0, se pide:

a)Determinar el ángulo que forman los planos dos a dos. Determinar la intersección de los tres planos. (1 p)
b)Determinar el punto P en el espacio del que se sabe que su proyección ortogonal sobre π₁ es el punto Q₁(1/3, 4/3, 10/3) y que su proyección ortogonal sobre π₂ es el punto Q₂(−1/3, 8/3, 5/3). Determinar la proyección ortogonal Q₃ del punto P sobre el plano π₃. (1,5 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Cálculo de los ángulos: planteamiento0,25
02a) Cálculo de los ángulos: solución0,25
03a) Cálculo de la intersección: planteamiento0,25
04a) Cálculo de la intersección: solución0,25
05b) Planteamiento del problema para determinar P0,5
06b) Resolución para encontrar P0,5
07b) Planteamiento del problema para determinar Q₃0,25
08b) Resolución para encontrar Q₃0,25

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué vectores determinan el ángulo?

Para los ángulos, trabaja con los vectores normales de los planos, que se leen directamente de los coeficientes de x, y, z.

Pista 2 · ¿En qué recta tiene que estar P?

Si Q es la proyección ortogonal de P sobre un plano, el segmento PQ es perpendicular al plano: piensa en qué recta tiene que estar P.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Compara los vectores normales para hallar los ángulosTribunal: cálculo de los ángulos: planteamiento · cálculo de los ángulos: solución0,5
El ángulo entre dos planos es el que forman sus vectores normales: cos α = |n⃗ᵢ · n⃗ⱼ|/(|n⃗ᵢ| · |n⃗ⱼ|). Las normales se leen de los coeficientes: n⃗₁ = (−2, −2, 1), n⃗₂ = (−2, 1, −2) y n⃗₃ = (1, −2, −2), las tres de módulo 3. Los tres productos escalares valen 0, así que cos α = 0 en los tres casos: los planos son perpendiculares dos a dos y forman 90°.
$\cos α = \frac{| {\vec{n}}_{i} \cdot {\vec{n}}_{j} |}{| {\vec{n}}_{i} | | {\vec{n}}_{j} |}$
${\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{2} = 4 - 2 - 2 = 0, {\vec{n}}_{1} \cdot {\vec{n}}_{3} = - 2 + 4 - 2 = 0, {\vec{n}}_{2} \cdot {\vec{n}}_{3} = - 2 - 2 + 4 = 0$
Tribunal
Cálculo de los ángulos: 0,5 puntos. … En ambos casos, 0,25 puntos por el planteamiento y 0,25 puntos por la solución.
0,5de 2,5
02a · Resuelve el sistema de los tres planosTribunal: cálculo de la intersección: planteamiento · cálculo de la intersección: solución0,5
Los puntos comunes son las soluciones del sistema formado por las tres ecuaciones. Es homogéneo, así que (0, 0, 0) siempre es solución; para saber si es la única, calcula el determinante de los coeficientes: vale 27 ≠ 0, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado. Los tres planos se cortan solo en el origen O(0, 0, 0), como cabía esperar de tres planos perpendiculares dos a dos.
$| \begin{matrix} - 2 & - 2 & 1 \\ - 2 & 1 & - 2 \\ 1 & - 2 & - 2 \end{matrix} | = 27 \neq 0$
Tribunal
Cálculo de la intersección: 0,5 puntos. En ambos casos, 0,25 puntos por el planteamiento y 0,25 puntos por la solución.
0,5de 2,5
03b · Escribe las perpendiculares a π₁ por Q₁ y a π₂ por Q₂Tribunal: planteamiento del problema para determinar P0,5
Si Q₁ es la proyección ortogonal de P sobre π₁, el segmento PQ₁ es perpendicular a π₁: P está en la recta que pasa por Q₁ con dirección n⃗₁. Lo mismo con Q₂ y n⃗₂. Por tanto, P es el punto de corte de esas dos rectas, cada una con su propio parámetro. Antes, comprueba que Q₁ ∈ π₁ y Q₂ ∈ π₂: los dos cumplen su ecuación.
$r_{1} : (\frac{1}{3} - 2 λ, \frac{4}{3} - 2 λ, \frac{10}{3} + λ), r_{2} : (- \frac{1}{3} - 2 μ, \frac{8}{3} + μ, \frac{5}{3} - 2 μ)$
Tribunal
Planteamiento del problema para determinar P: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
04b · Iguala las dos rectas y obtén PTribunal: resolución para encontrar P0,5
Iguala coordenada a coordenada. De las dos primeras ecuaciones, 1/3 − 2λ = −1/3 − 2μ y 4/3 − 2λ = 8/3 + μ, salen λ = −1/3 y μ = −2/3, y la tercera se cumple: 10/3 − 1/3 = 3 = 5/3 + 4/3. Sustituyendo en r₁ queda P(1, 2, 3). Comprueba: P − Q₁ = (2/3, 2/3, −1/3) es paralelo a n⃗₁ y P − Q₂ = (4/3, −2/3, 4/3) es paralelo a n⃗₂.
Tribunal
Resolución para encontrar P: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
05b · Proyecta P sobre π₃ con la recta perpendicularTribunal: planteamiento del problema para determinar Q₃ · resolución para encontrar Q₃0,5
Q₃ es el pie de la perpendicular a π₃ trazada por P: la recta P + t·n⃗₃ = (1 + t, 2 − 2t, 3 − 2t). Sustituye en π₃: (1 + t) − 2(2 − 2t) − 2(3 − 2t) = 9t − 9 = 0, así que t = 1 y Q₃(2, 0, 1). Comprueba que está en π₃: 2 − 0 − 2 = 0.
$(1 + t) - 2 (2 - 2 t) - 2 (3 - 2 t) = 9 t - 9 = 0 ⟹ t = 1 ⟹ Q_{3} (2, 0, 1)$
Tribunal
Planteamiento del problema para determinar Q₃: 0,25 puntos. Resolución para encontrar Q₃: 0,25 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Usar el mismo parámetro en las dos rectas

Lo que se suele escribir: ~~Q₁ + λn⃗₁ = Q₂ + λn⃗₂~~. Lo correcto: Q₁ + λn⃗₁ = Q₂ + μn⃗₂

El error que más puntos cuesta en b) es escribir las dos rectas perpendiculares con el mismo parámetro λ. Son dos rectas distintas y el punto de corte tiene un valor de parámetro en cada una: aquí P corresponde a λ = −1/3 en la primera y a μ = −2/3 en la segunda, así que con una sola letra el sistema queda incompatible y parece que P no existe. Al cortar dos rectas, usa siempre letras distintas.

Cuesta los puntos de «planteamiento del problema para determinar P»: 0,5 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.2 o la 3.1.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Esta pregunta salió en la PAU?

No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.