PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada

Pregunta 2.2: paridad, límite e integral por partes con sen(πx/2)

Tema · Derivadas
Concepto · Integración por partes
Concepto · Integral definida y regla de Barrow
Opcional · 2.2 o 2.1
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)g es par: x·f(x) es producto de dos impares y queda g(−x) = g(x).
b)3π/8 ≈ 1,18, quitando el 0/0 con el conjugado del numerador.
c)4/π² ≈ 0,405, integrando por partes con u = x y aplicando Barrow.

Pregunta 2.2

PAU Madrid modelo 2025Análisis2,5 puntos

Dada la función f(x) = sen((π/2)x), se pide:

a)Estudiar la paridad de la función g(x) = f(x f(x)). (0,5 p)
b)Calcular lím_(x→0) (√(4 + 3f(x)) − 2)/x. (1 p)
c)Calcular ∫₀¹ x f(x) dx. (1 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Planteamiento del apartado a)0,25
02a) Identificación de la paridad de g0,25
03b) Planteamiento del apartado b)0,5
04b) Obtención del límite0,5
05c) Obtención de la primitiva0,75
06c) Aplicación correcta de la regla de Barrow0,25

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Cómo se estudia la paridad de g?

Para la paridad, calcula g(−x) apoyándote en que el seno es impar, y compáralo con g(x) y con −g(x).

Pista 2 · ¿Qué herramientas para el límite y la integral?

El límite es una indeterminación 0/0 que se resuelve con el conjugado o con L'Hôpital; la integral es de un producto de x por un seno, así que va por partes.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Calcula g(−x)Tribunal: planteamiento del apartado a)0,25
Escribe g de forma explícita: g(x) = f(x·f(x)) = sen((π/2)·x·sen(πx/2)). Para estudiar la paridad sustituye x por −x: g(−x) = sen((π/2)·(−x)·sen(−πx/2)). Como el seno es impar, sen(−πx/2) = −sen(πx/2), y los dos signos menos del argumento se cancelan.
$g (- x) = sen (\frac{π}{2} (- x) sen (- \frac{π x}{2})) = sen (\frac{π}{2} x sen \frac{π x}{2})$
Tribunal
Planteamiento: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
02a · Identifica la paridad de gTribunal: identificación de la paridad de g0,25
Queda g(−x) = g(x) para todo x real, así que g es par: el argumento x·sen(πx/2) es producto de dos funciones impares, que es par. No es impar: g(1) = g(−1) = sen(π/2) = 1, y para ser impar haría falta g(−1) = −g(1).
Tribunal
Identificación de la paridad: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
03b · Detecta el 0/0 y multiplica por el conjugadoTribunal: planteamiento del apartado b)0,5
Como f(0) = sen 0 = 0, el numerador tiende a √4 − 2 = 0 y el denominador a 0: es una indeterminación 0/0. Multiplica y divide por el conjugado √(4 + 3f(x)) + 2; arriba queda (4 + 3 sen(πx/2)) − 4 = 3 sen(πx/2), sin raíces.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + 3 f (x)} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 sen \frac{π x}{2}}{x (\sqrt{4 + 3 sen \frac{π x}{2}} + 2)}$
Tribunal
Planteamiento: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
04b · Calcula el límiteTribunal: obtención del límite0,5
Separa en dos factores: 3·sen(πx/2)/x y 1/(√(4 + 3 sen(πx/2)) + 2). Como sen(πx/2) ~ πx/2 cuando x → 0, el primero tiende a 3π/2, y el segundo a 1/(2 + 2) = 1/4. El límite vale 3π/8 ≈ 1,18. Con L'Hôpital sale lo mismo: la derivada del numerador en 0 es 3·(π/2)/(2·√4) = 3π/8 y la del denominador, 1.
$\lim_{x \to 0} \frac{3 sen \frac{π x}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 + 3 sen \frac{π x}{2}} + 2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 π}{8}$
Tribunal
Obtención del límite: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
05c · Obtén la primitiva por partesTribunal: obtención de la primitiva0,75
El integrando x·sen(πx/2) es un polinomio por un seno: toma u = x y dv = sen(πx/2) dx, de modo que du = dx y v = −(2/π)·cos(πx/2). La fórmula de partes deja una integral inmediata, ∫cos(πx/2) dx = (2/π)·sen(πx/2). Compruébalo derivando el resultado: los dos términos con coseno se cancelan y vuelve x·sen(πx/2).
$\int x sen \frac{π x}{2} d x = - \frac{2 x}{π} \cos \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} \int \cos \frac{π x}{2} d x = - \frac{2 x}{π} \cos \frac{π x}{2} + \frac{4}{π^{2}} sen \frac{π x}{2} + C$
Tribunal
Obtención de la primitiva: 0,75 puntos.
0,75de 2,5
06c · Aplica Barrow entre 0 y 1Tribunal: aplicación correcta de la regla de Barrow0,25
En x = 1, cos(π/2) = 0 y sen(π/2) = 1, así que la primitiva vale 4/π². En x = 0 los dos términos se anulan. La integral vale 4/π² ≈ 0,405, positiva como debe ser, porque x·sen(πx/2) ≥ 0 en [0, 1].
$[- \frac{2 x}{π} \cos \frac{π x}{2} + \frac{4}{π^{2}} sen \frac{π x}{2}]_{0}^{1} = \frac{4}{π^{2}} \approx 0,405$
Tribunal
Aplicación correcta de la regla de Barrow: 0,25 puntos.
0,25de 2,5

Error típico

Olvidar el factor 2/π al integrar el seno

Lo que se suele escribir: ~~v = −cos(πx/2)~~. Lo correcto: v = −(2/π)·cos(πx/2)

Al integrar por partes es habitual tomar v = −cos(πx/2), como si la primitiva de sen(kx) fuera −cos(kx) sin más. Al integrar, la constante del argumento divide: v = −(2/π)·cos(πx/2), y lo mismo ocurre en la segunda integral. Si olvidas el factor en v, la integral sale 2/π ≈ 0,64 en vez de 4/π² ≈ 0,405. Deriva tu v antes de seguir: tiene que devolverte sen(πx/2).

Cuesta los puntos de «obtención de la primitiva»: 0,75 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Esta pregunta salió en la PAU?

No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.