PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 3.1: plano respecto del cual A y B son simétricos, plano por una recta y recta paralela
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- a)2x + 2y + 2z − 3 = 0: plano mediador, normal AB = (1, 1, 1) y punto medio (1/2, 1/2, 1/2).
- b)x − y = 0: normal (1, 1, 1) × (1, 1, 0).
- c)x = y = z: pasa por A con el vector director de r.
Pregunta 3.1
Sean los puntos A(0, 0, 0) y B(1, 1, 1), y la recta r ≡ (x, y, z) = (λ, λ, λ + 1), λ ∈ ℝ.
- a)Halle una ecuación del plano respecto del cual los puntos A y B son simétricos. (1 p)
- b)Halle una ecuación del plano que contiene a la recta r y pasa por el punto B. (1 p)
- c)Halle una ecuación de una recta que sea paralela a r y pase por A. (0,5 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Planteamiento del apartado a)0,5
- 02a) Resolución del apartado a)0,5
- 03b) Planteamiento del apartado b)0,5
- 04b) Resolución del apartado b)0,5
- 05c) Planteamiento del apartado c)0,25
- 06c) Resolución del apartado c)0,25
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué plano deja a A y B a la misma distancia?
Los puntos que equidistan de A y de B forman el plano mediador del segmento AB: es perpendicular a AB y pasa por su punto medio.
Pista 2 · ¿Qué dos vectores tiene el plano de b)?
Para el plano de b), saca de r un punto y su vector director; el segundo vector une ese punto con B, y el normal es el producto vectorial.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Plantea el plano mediador del segmento ABTribunal: planteamiento del apartado a)0,5
A y B son simétricos respecto de un plano cuando ese plano es perpendicular al segmento AB y pasa por su punto medio: es el plano mediador. Su vector normal es AB = B − A = (1, 1, 1) y su punto, el medio M = (1/2, 1/2, 1/2).
02a · Escribe la ecuación del planoTribunal: resolución del apartado a)0,5
Con normal (1, 1, 1), el plano es x + y + z + D = 0; al pasar por M, 3/2 + D = 0, así que D = −3/2. Multiplicando por 2: 2x + 2y + 2z − 3 = 0. Comprueba que A y B quedan a la misma distancia: |−3|/√12 en A y |6 − 3|/√12 en B.
03b · Busca dos vectores del planoTribunal: planteamiento del apartado b)0,5
De r saca un punto, P = (0, 0, 1) con λ = 0, y su vector director, v = (1, 1, 1). B no está en r (haría falta λ = 1 y λ + 1 = 1 a la vez), así que el plano queda determinado: contiene a v y al vector PB = B − P = (1, 1, 0). Su normal es el producto vectorial de los dos.
04b · Calcula la normal y la ecuaciónTribunal: resolución del apartado b)0,5
v × PB = (1, 1, 1) × (1, 1, 0) = (−1, 1, 0). El plano es −x + y + D = 0 y, al pasar por B, −1 + 1 + D = 0, así que D = 0: −x + y = 0, o sea, x − y = 0. Comprueba: todo punto (λ, λ, λ + 1) de r cumple x = y, y B(1, 1, 1) también.
05c · Toma A y el vector director de rTribunal: planteamiento del apartado c)0,25
Dos rectas paralelas tienen vectores directores proporcionales, así que la recta pedida puede usar el de r, v = (1, 1, 1), y el punto A(0, 0, 0).
06c · Escribe la ecuación de la rectaTribunal: resolución del apartado c)0,25
En paramétricas, (x, y, z) = (μ, μ, μ), μ ∈ ℝ; en continua, x/1 = y/1 = z/1, es decir, x = y = z. Es paralela y no coincidente con r: A no está en r, porque (0, 0, 0) exigiría λ = 0 y λ + 1 = 0 a la vez.
Error típico
Pasar el plano por A en vez de por el punto medio
Lo que se suele escribir: x + y + z = 0. Lo correcto: x + y + z = 3/2
Al plantear el plano de simetría es habitual tomar bien la normal AB = (1, 1, 1) pero pasar el plano por A, lo que da x + y + z = 0. Ese plano contiene a A, así que el simétrico de A sería el propio A, no B. El plano de simetría equidista de los dos puntos y por eso pasa por el punto medio M(1/2, 1/2, 1/2). Comprueba siempre que A y B quedan a la misma distancia del plano.
Cuesta los puntos de «planteamiento del apartado a)»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 3 eliges una de dos opciones: la 3.1 o la 3.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.