PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada

Pregunta 4: vacuna de la gripe: binomial y aproximación por la normal

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a)no se restringen las de 5; sí las de 7: con X ~ B(n; 0,268), P(X > 1) ≈ 0,4051 con 5 personas y P(X > 1) ≈ 0,5988 con 7 personas.
b)P(Y ≥ 350) ≈ 0,9525: Y ~ B(500; 0,732) se aproxima por N(366; 9,90) corrigiendo por continuidad desde 349,5.

Pregunta 4

PAU Madrid modelo 2025Probabilidad2,5 puntos

Según los datos de la Comunidad de Madrid, en la temporada 2021-2022 la cobertura de la vacuna de la gripe entre mayores de 65 años fue de un 73,2 %.

a)Ante una situación de brote epidémico, las autoridades deciden restringir aquellas reuniones en las que la probabilidad de que haya más de una persona no vacunada sea mayor de 0,5. Suponiendo que los asistentes a una reunión suponen una muestra aleatoria, ¿se deberían restringir las reuniones de 5 personas mayores de 65 años? ¿Y las reuniones de 7 personas mayores de 65 años? (1,5 p)
b)Se toma una muestra aleatoria de 500 personas mayores de 65 años. Calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que al menos 350 de ellos estén vacunados contra la gripe. (1 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Identificación de la distribución binomial0,25
02a) Reuniones de 5 personas: planteamiento correcto de las probabilidades a calcular0,25
03a) Reuniones de 5 personas: cálculo correcto de las probabilidades0,25
04a) Reuniones de 7 personas: planteamiento correcto de las probabilidades a calcular0,25
05a) Reuniones de 7 personas: cálculo correcto de las probabilidades0,25
06a) Respuesta final correcta a la pregunta: qué reuniones se restringen0,25
07b) Planteamiento del apartado b)0,5
08b) Resolución del apartado b)0,5

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué variable cuenta lo que se pregunta?

Define la variable como el número de personas no vacunadas y fíjate en que «más de una» no es lo mismo que «al menos una»: el complementario te ahorra cálculos.

Pista 2 · ¿Dónde cortas al pasar a la normal?

En b), al aproximar la binomial por una normal, decide qué valor frontera corresponde a «al menos 350» antes de tipificar.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Identifica la binomial de los no vacunadosTribunal: identificación de la distribución binomial0,25
Cada asistente está vacunado o no, de forma independiente porque la reunión es una muestra aleatoria, y la probabilidad de no estar vacunado es 1 − 0,732 = 0,268. Si X es el número de no vacunados en una reunión de n personas, X ~ B(n; 0,268). Hay que comparar P(X > 1) con 0,5, y «más de una» significa X ≥ 2.
Tribunal
Identificación de la distribución binomial: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
02a · Calcula P(X > 1) en una reunión de 5 personasTribunal: reuniones de 5 personas: planteamiento correcto de las probabilidades a calcular · reuniones de 5 personas: cálculo correcto de las probabilidades0,5
Es más corto pasar al complementario: P(X > 1) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1). Con n = 5, P(X = 0) = 0,732⁵ ≈ 0,2102 y P(X = 1) = 5 · 0,268 · 0,732⁴ ≈ 0,3847. Por tanto, P(X > 1) ≈ 1 − 0,5949 = 0,4051.
$P (X > 1) = 1 - {0,732}^{5} - 5 \cdot 0,268 \cdot {0,732}^{4} \approx 1 - 0,2102 - 0,3847 = 0,4051$
Tribunal
Para cada uno de los dos casos: 0,5 puntos (planteamiento correcto de las probabilidades a calcular: 0,25 puntos; cálculo correcto de las probabilidades: 0,25 puntos).
0,5de 2,5
03a · Repite el cálculo con 7 personasTribunal: reuniones de 7 personas: planteamiento correcto de las probabilidades a calcular · reuniones de 7 personas: cálculo correcto de las probabilidades0,5
Mismo planteamiento con n = 7: P(X = 0) = 0,732⁷ ≈ 0,1126 y P(X = 1) = 7 · 0,268 · 0,732⁶ ≈ 0,2886. Así, P(X > 1) ≈ 1 − 0,4012 = 0,5988.
$P (X > 1) = 1 - {0,732}^{7} - 7 \cdot 0,268 \cdot {0,732}^{6} \approx 1 - 0,1126 - 0,2886 = 0,5988$
Tribunal
Para cada uno de los dos casos: 0,5 puntos (planteamiento correcto de las probabilidades a calcular: 0,25 puntos; cálculo correcto de las probabilidades: 0,25 puntos).
0,5de 2,5
04a · Compara con 0,5 y decide qué reuniones se restringenTribunal: respuesta final correcta a la pregunta: qué reuniones se restringen0,25
La regla es restringir si P(X > 1) > 0,5. Con 5 personas, 0,4051 < 0,5: no se restringen. Con 7 personas, 0,5988 > 0,5: sí se restringen. Tiene sentido: cuantas más personas, más probable es que haya dos o más sin vacunar.
Tribunal
Respuesta final correcta a la pregunta: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
05b · Plantea la normal que aproxima a la binomialTribunal: planteamiento del apartado b)0,5
Sea Y el número de vacunados entre las 500 personas: Y ~ B(500; 0,732). Como n·p = 366 y n·q = 134 son grandes, se aproxima por una normal con la misma media y la misma desviación típica: μ = 366 y σ = √98,088 ≈ 9,90. Se pide P(Y ≥ 350).
$μ = 500 \cdot 0,732 = 366, σ = \sqrt{500 \cdot 0,732 \cdot 0,268} = \sqrt{98,088} \approx 9,90$
Tribunal
Planteamiento: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
06b · Corrige por continuidad y tipificaTribunal: resolución del apartado b)0,5
Al pasar de una variable discreta a una continua, «al menos 350» tiene que incluir el 350 entero, así que se corta en 349,5: P(Y ≥ 350) ≈ P(Y′ ≥ 349,5), con Y′ ~ N(366; 9,90). Tipificando, z = (349,5 − 366)/9,90 ≈ −1,67, y por simetría P(Z ≥ −1,67) = P(Z ≤ 1,67) ≈ 0,9525. Contando no vacunados sale lo mismo: al menos 350 vacunados equivale a como mucho 150 no vacunados, y (150,5 − 134)/9,90 ≈ 1,67.
$P (Y \geq 350) \approx P (Y^{'} \geq 349,5) = P (Z \geq \frac{349,5 - 366}{9,90}) \approx P (Z \leq 1,67) \approx 0,9525$
Tribunal
Resolución: 0,5 puntos. El cálculo sin corrección por continuidad, o una incorrecta, se penalizará con 0,25 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Olvidar o invertir la corrección por continuidad

Lo que se suele escribir: ~~P(Y ≥ 350) ≈ P(Y′ ≥ 350,5)~~. Lo correcto: P(Y ≥ 350) ≈ P(Y′ ≥ 349,5)

El error que más se repite en b) es tipificar directamente con 350, o corregir hacia el lado equivocado con 350,5. La binomial solo toma valores enteros y la normal reparte cada uno en un intervalo de anchura 1: el 350 ocupa de 349,5 a 350,5, y «al menos 350» tiene que incluirlo entero, así que el corte va en 349,5. Las dos versiones erróneas dan una probabilidad menor que la correcta y cada una cuesta 0,25 puntos.

Cuesta los puntos de «resolución del apartado b)»: 0,5 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Sigue practicando

Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Esta pregunta salió en la PAU?

No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.