PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 1.1: inversa de AB, rango de BA con parámetro y sistema con AᵗA
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- a)Ningún λ: AB siempre tiene inversa, pues det(AB) = −1 para todo λ.
- b)rango(BA) = 2 para todo λ: un menor vale 1 + λ² ≠ 0.
- c)Incompatible si a ≠ 0 y a ≠ 2, compatible indeterminado si a = 0 o a = 2 y nunca es compatible determinado: AᵗA tiene filas (1, 1, 1), (1, 2, 0) y (1, 0, 2), de rango 2, y la ampliada sube a rango 3 salvo si a(2 − a) = 0.
Pregunta 1.1
Sea λ un número real y considérense las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (1, λ), (0, −1) y (1, −λ). Se pide:
- a)Estudiar si existe algún valor de λ para el cual la matriz AB no tenga inversa. (0,5 p)
- b)Estudiar el rango de la matriz BA en función del parámetro λ. (1 p)
- c)Para λ = 1, discutir el sistema (AᵗA)·(x, y, z)ᵗ = (a², a², 2a)ᵗ según los valores de a. (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: discusión correcta del rango de BA y discusión correcta del sistema según los valores de a.
- 01a) Cálculo correcto de AB0,25
- 02a) Discusión correcta de la existencia de inversa de AB0,25
- 03b) Cálculo correcto de BA0,25
- 04b) Discusión correcta del rango de BA0,75
- 05c) Cálculo correcto de AᵗA0,25
- 06c) Discusión correcta del sistema según los valores de a0,75
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué tamaño tiene cada producto?
AB y BA ni siquiera tienen el mismo tamaño: fíjate en las dimensiones antes de multiplicar. Para el rango de BA, piensa qué rango puede tener como mucho un producto en el que interviene A.
Pista 2 · ¿Cómo se discute el sistema de c)?
En c) el término independiente depende de a: escribe la matriz ampliada, escalónala por Gauss y compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula el producto ABTribunal: cálculo correcto de AB0,25
A es 2×3 y B es 3×2, así que AB es una matriz 2×2. Fila 1 por columna 1: λ·1 + 1·0 + λ·1 = 2λ; fila 1 por columna 2: λ·λ + 1·(−1) + λ·(−λ) = −1. Fila 2 por columna 1: 0·1 + λ·0 + (−1)·1 = −1; fila 2 por columna 2: 0·λ + λ·(−1) + (−1)·(−λ) = 0.
02a · Decide si AB puede dejar de ser invertibleTribunal: discusión correcta de la existencia de inversa de AB0,25
Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Aquí det(AB) = 2λ·0 − (−1)·(−1) = −1, que no depende de λ y nunca se anula. Por tanto, no hay ningún valor de λ para el que AB no tenga inversa.
03b · Calcula el producto BATribunal: cálculo correcto de BA0,25
Ahora el orden cambia: B es 3×2 y A es 2×3, así que BA es 3×3. Cada fila de BA es la fila de B combinando las filas de A: la fila (1, λ) da (λ, 1 + λ², 0), la fila (0, −1) da (0, −λ, 1) y la fila (1, −λ) da (λ, 1 − λ², 2λ).
04b · Discute el rango de BA según λTribunal: discusión correcta del rango de BA0,75
Como A solo tiene dos filas, rango(A) ≤ 2 y el producto BA no puede tener rango mayor: det(BA) = 0 para todo λ, y desarrollándolo se comprueba que sale 0 idénticamente. Para ver que el rango es exactamente 2, busca un menor 2×2 que no se anule nunca: el de las filas 1 y 2 y las columnas 2 y 3 vale (1 + λ²)·1 − 0·(−λ) = 1 + λ², que es al menos 1. Así, rango(BA) = 2 para todo λ, sin casos especiales.
05c · Calcula AᵗA para λ = 1Tribunal: cálculo correcto de AᵗA0,25
Para λ = 1, A tiene filas (1, 1, 1) y (0, 1, −1). Cada elemento de AᵗA es el producto escalar de dos columnas de A, que son (1, 0), (1, 1) y (1, −1): por eso sale una matriz 3×3 simétrica. La diagonal es 1, 2 y 2, y fuera de ella quedan 1, 1 y 0.
06c · Discute el sistema según los valores de aTribunal: discusión correcta del sistema según los valores de a0,75
Escribe la matriz ampliada y escalónala por Gauss: F2 − F1 da (0, 1, −1 | 0) y F3 − F1 da (0, −1, 1 | 2a − a²); sumando ambas filas, la tercera queda (0, 0, 0 | a(2 − a)). La matriz de coeficientes tiene rango 2 para cualquier a (det(AᵗA) = 0 y el menor de las dos primeras filas y columnas vale 1), así que el sistema nunca es compatible determinado. Si a(2 − a) ≠ 0, es decir, a ≠ 0 y a ≠ 2, la ampliada tiene rango 3 y el sistema es incompatible; si a = 0 o a = 2, ambos rangos valen 2, menos que las 3 incógnitas, y es compatible indeterminado.
Error típico
Dar el sistema por compatible porque det(AᵗA) = 0
Lo que se suele escribir: det(AᵗA) = 0 ⇒ SCI para todo a. Lo correcto: SCI solo si a = 0 o a = 2
Ver que det(AᵗA) = 0 y concluir sin más que el sistema es compatible indeterminado para cualquier a. Un determinante nulo solo dice que el sistema no puede ser compatible determinado; para saber si tiene solución hay que comparar el rango de AᵗA con el de la ampliada, y aquí la ampliada sube a rango 3 en cuanto a(2 − a) ≠ 0. Sin esa comparación, la discusión pierde casi todos sus 0,75 puntos.
Cuesta los puntos de «discusión correcta del sistema según los valores de a»: 0,75 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 1 eliges una de dos opciones: la 1.1 o la 1.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.