PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 1.2: garrafas y aljibe: planteamiento y resolución de un sistema
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Garrafa pequeña: 11 L, mediana: 31 L, grande: 37 L; aljibe: 340 L. Con p, m y g las capacidades en litros, el enunciado da 6p + 2 = m + g, 2g = 2m + p + 1 y 14p + 6m = 5m + 5g, y el sistema se resuelve por Gauss. El aljibe vale 14·11 + 6·31 = 5·31 + 5·37 = 340 L.
Pregunta 1.2
Se tienen garrafas de tres tamaños diferentes para llenar un aljibe. Con seis garrafas pequeñas y 2 L se llenan exactamente una garrafa mediana y una grande. Con dos garrafas grandes llenamos dos medianas, una pequeña y sobra 1 L. El aljibe se llena al completo bien con catorce garrafas pequeñas más seis medianas, bien con cinco medianas junto con cinco grandes. Se pide calcular la capacidad de cada tipo de garrafa y, una vez conocidas estas, la del aljibe.
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01Planteamiento de la ecuación «seis garrafas pequeñas y 2 L llenan una mediana y una grande»0,5
- 02Planteamiento de la ecuación «dos grandes llenan dos medianas, una pequeña y sobra 1 L»0,5
- 03Planteamiento de la ecuación del aljibe: catorce pequeñas y seis medianas igual a cinco medianas y cinco grandes0,5
- 04Resolución correcta del sistema planteado y cálculo correcto de la capacidad del aljibe1
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo se traduce cada frase a una ecuación?
Llama p, m y g a la capacidad en litros de cada tipo de garrafa y traduce cada frase a una igualdad de litros: lo que cabe en un lado es lo que se llena en el otro.
Pista 2 · ¿Cuántas incógnitas hay de verdad?
La capacidad del aljibe no es una incógnita más: las dos formas de llenarlo dan los mismos litros, así que se igualan entre sí. Con las tres ecuaciones, resuelve por Gauss y calcula el aljibe al final.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01Plantea la ecuación de las seis garrafas pequeñasTribunal: planteamiento de la ecuación «seis garrafas pequeñas y 2 L llenan una mediana y una grande»0,5
Llama p, m y g a la capacidad, en litros, de la garrafa pequeña, la mediana y la grande. Seis pequeñas y 2 L suman 6p + 2 litros, y con eso se llenan exactamente una mediana y una grande, que hacen m + g. La ecuación es 6p + 2 = m + g, o sea, 6p − m − g = −2.
02Plantea la ecuación de las dos garrafas grandesTribunal: planteamiento de la ecuación «dos grandes llenan dos medianas, una pequeña y sobra 1 L»0,5
Dos grandes contienen 2g litros. Con ellos se llenan dos medianas y una pequeña, 2m + p, y además sobra 1 L: el agua de las grandes es la de las otras tres garrafas más ese litro. Queda 2g = 2m + p + 1, es decir, p + 2m − 2g = −1.
03Plantea la ecuación del aljibeTribunal: planteamiento de la ecuación del aljibe: catorce pequeñas y seis medianas igual a cinco medianas y cinco grandes0,5
La capacidad del aljibe no hace falta como cuarta incógnita: las dos formas de llenarlo dan los mismos litros. Catorce pequeñas y seis medianas son 14p + 6m; cinco medianas y cinco grandes, 5m + 5g. Igualando, 14p + 6m = 5m + 5g, que se simplifica a 14p + m − 5g = 0.
04Resuelve el sistema y calcula el aljibeTribunal: resolución correcta del sistema planteado y cálculo correcto de la capacidad del aljibe1
Toma p + 2m − 2g = −1 como pivote. Restándola 6 veces a la primera ecuación queda −13m + 11g = 4, y restándola 14 veces a la tercera, −27m + 23g = 14. Para eliminar m, multiplica la primera por 27 y la segunda por 13 y réstalas: −2g = −74, así que g = 37; entonces −13m = 4 − 407, m = 31, y p = −1 − 62 + 74 = 11. El aljibe tiene 14·11 + 6·31 = 154 + 186 = 340 L, y la otra forma da lo mismo: 5·31 + 5·37 = 155 + 185 = 340 L. Comprueba también 6·11 + 2 = 68 = 31 + 37 y 2·37 = 74 = 62 + 11 + 1.
Error típico
Poner el litro que sobra en el lado equivocado
Lo que se suele escribir: 2g + 1 = 2m + p. Lo correcto: 2g = 2m + p + 1
Leer «sobra 1 L» al revés y sumar ese litro al contenido de las dos garrafas grandes, como si faltara agua. Lo que sobra sale de las garrafas grandes: su contenido, 2g, es lo que llenan las otras tres garrafas más ese litro, así que 2g = 2m + p + 1. Con el litro en el lado equivocado esa ecuación no puntúa y, aunque resuelvas bien el sistema, la resolución se queda en 0,5 puntos como mucho.
Cuesta los puntos de «planteamiento de la ecuación «dos grandes llenan dos medianas, una pequeña y sobra 1 L»»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 1 eliges una de dos opciones: la 1.2 o la 1.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2025 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.