Concepto · Análisis · Matemáticas II y Matemáticas CCSS II
Continuidad de una función: definición, límites laterales y funciones a trozos
En breve
Una función es continua en un punto x = a cuando está definida en a, tiene límite finito en a y ese límite vale f(a): su gráfica pasa por ese punto sin saltos ni huecos. En una función a trozos, eso obliga a que los dos límites laterales en cada punto de cambio coincidan con el valor de la función.
Dicho con precisión
Una función f es continua en x = a si se cumplen tres condiciones: existe f(a); existe el límite de f(x) cuando x tiende a a, es decir, los límites laterales son finitos e iguales; y ese límite coincide con f(a). Es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos; en los extremos de un intervalo cerrado basta el límite lateral correspondiente.
Míralo en movimiento
Es la figura del ejercicio 2.2 del modelo 2027 de Matemáticas CCSS II de Madrid: la gráfica son las ranuras de dos guías y el mando sube o baja el tramo izquierdo, que depende del parámetro a. La bola solo pasa la junta en x = 0 cuando las dos ranuras se encuentran.
Cómo se aplica, paso a paso
Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.
Ejemplo
Sea f(x) = x² + k si x < 1 y f(x) = √(x + 3) si x ≥ 1. Halla k para que f sea continua en ℝ y di qué tipo de discontinuidad tiene en x = 1 si k = 3.
Justifica la continuidad fuera del punto de cambio
En (−∞, 1), f(x) = x² + k es un polinomio, continuo para cualquier valor de k. En (1, +∞), f(x) = √(x + 3) es continua porque el radicando x + 3 es positivo para x > 1. Así que el único punto que hay que estudiar es x = 1, donde cambia la definición.
Calcula f(a) con el tramo que contiene el punto
Como x = 1 cumple la condición x ≥ 1, se usa la segunda expresión: f(1) = √(1 + 3) = √4 = 2. La función está definida en el punto, que es la primera de las tres condiciones de continuidad.
Calcula los dos límites laterales
Por la izquierda, x < 1 y se usa x² + k, así que el límite cuando x → 1⁻ es 1 + k. Por la derecha se usa la raíz, y el límite cuando x → 1⁺ es √4 = 2. El límite en x = 1 existe solo si los dos laterales coinciden.
Iguala los límites con f(a) y despeja el parámetro
f es continua en x = 1 si los dos límites laterales coinciden y valen f(1): 1 + k = 2, de donde k = 1. Comprueba el resultado: con k = 1, los dos límites valen 2, igual que f(1), y como los tramos ya eran continuos, f es continua en todo ℝ.
Clasifica la discontinuidad para otro valor del parámetro
Con k = 3, el límite por la izquierda vale 4 y el límite por la derecha vale 2. Los dos son finitos pero distintos, así que el límite en x = 1 no existe y la función tiene una discontinuidad de salto finito, de 2 unidades. En general, para cualquier k ≠ 1 hay un salto de |1 − k| unidades.
Errores típicos
Calcular f(a) con el tramo equivocado
f(a) se calcula con la expresión cuya condición incluye el punto, la que lleva el signo igual (≤ o ≥). En el ejemplo, x = 1 pertenece al tramo x ≥ 1, así que f(1) sale de la raíz y no de x² + k. Fíjate en dónde está el igual de cada tramo antes de sustituir.
Estudiar solo el punto de cambio
Escribe también por qué cada expresión es continua en su intervalo: polinomio, exponencial, cociente cuyo denominador no se anula, raíz con radicando positivo. Si un tramo tiene un denominador que se anula dentro de su propio intervalo, ahí hay otra discontinuidad, aunque el parámetro encaje en el punto de cambio.
Confundir continuidad con derivabilidad
Que los límites laterales coincidan con f(a) solo da la continuidad. Para que la función sea además derivable en ese punto hace falta otra condición: que coincidan las derivadas laterales. Si el enunciado pide continuidad y derivabilidad, plantea las dos condiciones, y cada una da su propia ecuación.
Ejercicios reales de la PAU
13 ejercicios resueltos de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 2.22,5 puntosSea la función real de variable real definida por f(x) = (x + 2)/(x − 2)² si x < 0; f(x) = (x² + x³)/(x² + 1) si x ≥ 0.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 5.22 puntosSea f(x) = 3x² − sen(ax) + b si x < 0, y f(x) = 2eˣ / (1 + x²) si x ≥ 0.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 3.12,5 puntosConsideremos la función f(x) = e²ˣ⁺³ si x ≤ 1; f(x) = (x² + 5x + 2)/(2x + 3) si x > 1.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 4.12,5 puntosConsidere la función real de variable real: f(x) = e⁻³ˣ⁺² si x < 0; f(x) = (x² − 4x + 2)/(x + 1) si x ≥ 0.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 2.12,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = (x² + 1)/(x − 1) si x ≤ 0; f(x) = (x + a)/(x + 1) si x > 0, con a ∈ ℝ.
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 2.12,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por f(x) = (x² − x − a)/2, a ∈ ℝ.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 3.22,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por f(x) = x/(2x − 1) si x < 0; f(x) = (4x³ + x²)/(x² − 9) si x ≥ 0.
- Madrid 2027 · Modelo · 2.22,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = e³ˣ − x + a si x < 0; f(x) = −x³ + 2x² si x ≥ 0.
- Madrid 2027 · Modelo · 5.12 puntosSea la función f(x) definida por f(x) = 2x + 2 si x ∈ [0, 2]; f(x) = ax² + bx si x ∈ (2, 5); f(x) = −(x − 5)² + 15 si x ∈ [5, 7].
- Madrid 2026 · Modelo · 3.12,5 puntosDada la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = (x − 1)/(3 − x) si x < 1; f(x) = (2 − x)/(3 + x) si x ≥ 1.
- Madrid 2026 · Modelo · 5.12 puntosSea la función f(x) definida por f(x) = (1/2)(−8 + cos x) si 0 ≤ x < π/2; f(x) = a sen(x) + 4 si π/2 ≤ x < π; f(x) = 2 sen(2x) + b si π ≤ x ≤ 2π.
- Madrid 2026 · Modelo · 5.22 puntosSe considera la función f(x) = ln(x² + 1)/x si x ≠ 0, y f(x) = 0 si x = 0. Se pide:
- Madrid 2025 · Modelo · 2.12,5 puntosSea la función f(x) = x² − 6x + 11 si x < 2; f(x) = √(5x − 1) si x ≥ 2.
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Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si falla alguna de las tres condiciones?
La función tiene una discontinuidad en x = a, y su tipo lo dicen los límites laterales. Evitable: el límite existe y es finito, pero f(a) no existe o vale otra cosa. De salto finito: los límites laterales son finitos y distintos. De salto infinito (asintótica): algún límite lateral es +∞ o −∞, como le ocurre a 1/x en x = 0, donde hay una asíntota vertical. Esencial: ningún límite lateral es infinito y alguno no existe, porque la función oscila, como sen(1/x) cuando x → 0⁺.
¿Por qué se llama evitable una discontinuidad?
Porque se arregla cambiando un solo valor. La función (x² − 1)/(x − 1) no está definida en x = 1, pero fuera de ese punto coincide con x + 1 y tiene límite 2 en x = 1. Si se completa con el valor f(1) = 2, queda continua. Un salto, en cambio, no se arregla tocando un punto, porque los dos lados llegan a alturas distintas.
¿Una función continua es siempre derivable?
No. Toda función derivable en un punto es continua en él, pero no al revés: f(x) = |x| es continua en x = 0 y tiene un pico, con derivadas laterales −1 y 1, así que no es derivable. Por eso, cuando piden continuidad y derivabilidad, se impone primero la continuidad y después la igualdad de las derivadas laterales.
¿Cuántas ecuaciones da la continuidad en una función a trozos?
En cada punto de cambio a se imponen dos igualdades: que el límite por la izquierda sea igual al límite por la derecha y que ese límite valga f(a). A menudo una ya se cumple, porque f(a) se calcula con uno de los tramos, y queda una sola ecuación, como 1 + k = 2 en el ejemplo. Después hay que resolverla: puede tener una solución, varias o ninguna. Con dos parámetros suele hacer falta otra condición, como otro punto de cambio o la derivabilidad.
¿Qué funciones son continuas sin necesidad de calcular límites?
Los polinomios, las exponenciales, sen x y cos x son continuas en ℝ. Los logaritmos lo son donde su argumento es positivo; las raíces de índice par, donde el radicando es mayor o igual que cero; y los cocientes de funciones continuas, en todos los puntos salvo donde se anula el denominador. Las sumas, productos y composiciones de funciones continuas también son continuas.
¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?
Los 13 ejercicios resueltos de esta página: la 2.2 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 5.2 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 3.1 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 4.1 de la extraordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 2.1 de la ordinaria de 2025 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y la 2.1 de la ordinaria · incidencias de 2025 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y otros. Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
Fuente
Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.