PAU Madrid 2027 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 2.2: continuidad de una función a trozos y área bajo un polinomio
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- a)a = −1: el límite por la izquierda en x = 0 es 1 + a y tiene que valer f(0) = 0.
- b)El área vale 4/3 u²: el recinto va de x = 0 a x = 2, donde −x³ + 2x² ≥ 0, y su primitiva es −x⁴/4 + 2x³/3.
Pregunta 2.2
Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = e³ˣ − x + a si x < 0; f(x) = −x³ + 2x² si x ≥ 0.
- a)Determine el valor del parámetro real a para que la función f(x) sea continua. (1,2 p)
- b)Determine el área del recinto acotado por la gráfica de f(x), el eje de abscisas de modo que x ≥ 0 y f(x) ≥ 0. (1,3 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uam.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Justificación de la continuidad en x ≠ 00,3
- 02a) Aplicación correcta de la definición de continuidad en x = 00,6
- 03a) Cálculo correcto del valor de a0,3
- 04b) Cálculo correcto de los límites de integración0,3
- 05b) Expresión correcta del área pedida0,5
- 06b) Cálculo correcto del área0,5
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Dónde puede fallar la continuidad?
Fuera de x = 0 cada trozo es continuo; en x = 0, iguala el límite por la izquierda con f(0).
Pista 2 · ¿Dónde empieza y acaba el recinto?
Para el área, busca dónde corta −x³ + 2x² al eje X con x ≥ 0 y comprueba su signo entre esos cortes.
Míralo en movimiento
Una figura interactiva de este ejercicio. Muévela antes o después de resolverlo.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Justifica la continuidad fuera de x = 0Tribunal: justificación de la continuidad en x ≠ 00,3
En (−∞, 0), f(x) = e³ˣ − x + a es suma de una exponencial y un polinomio; en (0, +∞), f(x) = −x³ + 2x² es un polinomio. Ambas expresiones son continuas en todo su intervalo, sea cual sea a, así que el único punto que hay que estudiar es x = 0, donde cambia la definición.
02a · Aplica la definición de continuidad en x = 0Tribunal: aplicación correcta de la definición de continuidad en x = 00,6
f es continua en x = 0 si los dos límites laterales existen, coinciden y valen f(0). Como x = 0 pertenece al tramo x ≥ 0, f(0) = −0³ + 2·0² = 0, y el límite por la derecha también vale 0. Por la izquierda: lím (e³ˣ − x + a) cuando x → 0⁻ es e⁰ − 0 + a = 1 + a. La continuidad exige 1 + a = 0.
03a · Despeja el valor de aTribunal: cálculo correcto del valor de a0,3
De 1 + a = 0 sale a = −1. Comprueba: con este valor, el límite por la izquierda es 1 − 1 = 0, igual que el límite por la derecha y que f(0), así que f es continua en todo ℝ.
04b · Halla los límites de integraciónTribunal: cálculo correcto de los límites de integración0,3
Para x ≥ 0, f(x) = −x³ + 2x² = x²(2 − x). Los límites salen de resolver f(x) = 0, no se eligen a ojo: se anula en x = 0 (raíz doble) y en x = 2. Entre ambos es positiva (por ejemplo, f(1) = 1) y para x > 2 es negativa, así que el recinto con x ≥ 0 y f(x) ≥ 0 queda entre x = 0 y x = 2.
05b · Escribe el área como una integralTribunal: expresión correcta del área pedida0,5
Como f(x) ≥ 0 en [0, 2], el área es directamente la integral de f entre los dos cortes, sin valor absoluto: Área = ∫₀² (−x³ + 2x²) dx. Si la función fuera negativa en algún tramo, habría que integrar su opuesta en ese tramo.
06b · Calcula el área con la regla de BarrowTribunal: cálculo correcto del área0,5
Una primitiva de −x³ + 2x² es F(x) = −x⁴/4 + 2x³/3. Por la regla de Barrow, Área = F(2) − F(0) = (−16/4 + 16/3) − 0 = −4 + 16/3 = 4/3 u² ≈ 1,333. Sale positiva, como corresponde a una función que no es negativa en [0, 2].
Error típico
Anular la exponencial en el límite por la izquierda
Lo que se suele escribir: lím f(x) = a cuando x → 0⁻. Lo correcto: lím f(x) = 1 + a cuando x → 0⁻
Tomar e⁰ = 0 al calcular el límite por la izquierda: sale a = 0 en lugar de a = −1. Recuerda que e⁰ = 1, así que ese límite vale 1 + a. Y f(0) se calcula con el tramo x ≥ 0, porque x = 0 pertenece a él: f(0) = 0.
Cuesta los puntos de «aplicación correcta de la definición de continuidad en x = 0»: 0,6 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.2 o la 2.1.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 8.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.