PAU Madrid 2027 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada

Pregunta 2.1: dominio, asíntotas y recta tangente de una función racional

Tema · Funciones y derivadas
Concepto · Derivada y recta tangente
Opcional · 2.1 o 2.2
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)Dominio ℝ ∖ {5}, asíntota vertical x = 5 y oblicua y = x + 3; no hay asíntotas horizontales, pues f(x) → ±∞ en ±∞.
b)La tangente es y = (9/25)x − 1/5, con f(0) = −1/5 y f′(0) = 9/25.

Pregunta 2.1

PAU Madrid modelo 2027Análisis2,5 puntos

Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = (x − 1)²/(x − 5).

a)Determine el dominio y las asíntotas de esta función. (1,5 p)
b)Determine la ecuación de la recta tangente a la función f(x) en x₀ = 0. (1 p)

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (uam.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Cálculo correcto del dominio de f(x)0,2
02a) Cálculo correcto de la asíntota vertical0,4
03a) Justificación correcta de la no existencia de asíntotas horizontales0,4
04a) Cálculo correcto de la asíntota oblicua0,5
05b) Cálculo correcto de la derivada0,5
06b) Determinación de la pendiente de la recta tangente0,2
07b) Expresión de la recta tangente en cualquiera de sus formas0,3

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Dónde buscar cada tipo de asíntota?

Hay asíntota vertical donde se anula el denominador y no el numerador. Después compara los grados del numerador y del denominador para saber si buscar una asíntota horizontal o una oblicua y = mx + n.

Pista 2 · ¿Qué límites calcular y qué pide la tangente?

Para la oblicua, m = lím f(x)/x y n = lím (f(x) − mx). Para la tangente en x₀ = 0 necesitas f(0) y f′(0): y − f(0) = f′(0)(x − 0).

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Calcula el dominioTribunal: cálculo correcto del dominio de f(x)0,2
f es un cociente de polinomios, así que solo deja de estar definida donde se anula el denominador. x − 5 = 0 da x = 5, de modo que el dominio es ℝ∖{5}.
Tribunal
Cálculo correcto del dominio de f(x): 0,2 puntos.
0,2de 2,5
02a · Estudia la asíntota vertical con los límites lateralesTribunal: cálculo correcto de la asíntota vertical0,4
El único candidato es x = 5, el punto que sale del dominio. Allí el numerador vale (5 − 1)² = 16 ≠ 0, así que el cociente no tiene límite finito. Cuando x → 5⁺, el denominador es positivo y tiende a 0: f(x) → +∞. Cuando x → 5⁻, es negativo: f(x) → −∞. Hay asíntota vertical x = 5.
$\lim_{x \to 5^{+}} \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 5} = + \infty, \lim_{x \to 5^{-}} \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 5} = - \infty$
Tribunal
Cálculo correcto de la asíntota vertical: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
03a · Justifica que no hay asíntotas horizontalesTribunal: justificación correcta de la no existencia de asíntotas horizontales0,4
Calcula los límites en el infinito. El numerador tiene grado 2 y el denominador grado 1, así que el cociente crece sin cota: f(x) → +∞ cuando x → +∞ y f(x) → −∞ cuando x → −∞. Como ninguno de los dos límites es finito, no hay asíntotas horizontales.
$\lim_{x \to + \infty} \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 5} = + \infty, \lim_{x \to - \infty} \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 5} = - \infty$
Tribunal
Justificación correcta de la no existencia de asíntotas horizontales: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
04a · Calcula la asíntota oblicuaTribunal: cálculo correcto de la asíntota oblicua0,5
Busca una recta y = mx + n. m = lím f(x)/x = lím (x − 1)²/(x² − 5x) = 1. n = lím (f(x) − x) = lím [(x − 1)² − x(x − 5)]/(x − 5) = lím (3x + 1)/(x − 5) = 3. La asíntota oblicua es y = x + 3, tanto en +∞ como en −∞. Comprobación por división: (x − 1)²/(x − 5) = x + 3 + 16/(x − 5), y el término 16/(x − 5) tiende a 0.
$m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} - 5 x} = 1$
$n = \lim_{x \to \pm \infty} (f (x) - x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 x + 1}{x - 5} = 3$
$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 5} = x + 3 + \frac{16}{x - 5}$
Tribunal
Cálculo correcto de la asíntota oblicua: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
05b · Deriva con la regla del cocienteTribunal: cálculo correcto de la derivada0,5
Con u = (x − 1)² y v = x − 5, la regla del cociente f′ = (u′v − uv′)/v² da f′(x) = [2(x − 1)(x − 5) − (x − 1)²]/(x − 5)². Saca factor común (x − 1) en el numerador: (x − 1)[2(x − 5) − (x − 1)] = (x − 1)(x − 9). Queda f′(x) = (x − 1)(x − 9)/(x − 5)² = (x² − 10x + 9)/(x − 5)².
$f^{'} (x) = \frac{2 (x - 1) (x - 5) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} = \frac{(x - 1) (x - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$
Tribunal
Cálculo correcto de la derivada: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
06b · Calcula la pendiente en x₀ = 0Tribunal: determinación de la pendiente de la recta tangente0,2
La pendiente de la tangente en x₀ = 0 es el valor de la derivada en ese punto: f′(0) = (0 − 1)(0 − 9)/(0 − 5)² = 9/25.
Tribunal
Determinación de la pendiente de la recta tangente: 0,2 puntos.
0,2de 2,5
07b · Escribe la recta tangenteTribunal: expresión de la recta tangente en cualquiera de sus formas0,3
Falta el punto de tangencia: f(0) = (−1)²/(−5) = −1/5; ojo con el signo, porque el denominador es negativo. Con y − f(0) = f′(0)(x − 0): y + 1/5 = (9/25)x, es decir, y = (9/25)x − 1/5, o bien 9x − 25y − 5 = 0. Cualquiera de las dos formas vale.
$y - (- \frac{1}{5}) = \frac{9}{25} (x - 0) ⟹ y = \frac{9}{25} x - \frac{1}{5}$
Tribunal
Expresión de la recta tangente en cualquiera de sus formas: 0,3 puntos.
0,3de 2,5

Error típico

Aplicar la regla de los coeficientes sin mirar los grados

Lo que se suele escribir: ~~asíntota horizontal y = 1~~. Lo correcto: sin asíntota horizontal: lím f(x) = ±∞

Dar y = 1 como asíntota horizontal porque los coeficientes principales valen 1: esa regla solo sirve cuando numerador y denominador tienen el mismo grado. Aquí el numerador tiene un grado más, los límites en el infinito son infinitos y lo que aparece es una oblicua. Calcula siempre el límite antes de escribir la asíntota.

Cuesta los puntos de «justificación correcta de la no existencia de asíntotas horizontales»: 0,4 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 2 eliges una de dos opciones: la 2.1 o la 2.2.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Esta pregunta salió en la PAU?

No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 8.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.