PAU Madrid 2027 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 1: salsa secreta: región factible, coste mínimo y reparto entre platos
En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
- a)La gráfica 3: es la única región limitada por x₂ = 2x₁ y x₁ + x₂ = 6.
- b)4 g de I₁ y 2 g de I₂, el vértice (4, 2): un litro cuesta 1,40 €.
- c)Sí: P₁ necesita 6 litros, P₂ 3 litros y P₃ 1 litro, porque suman 10, P₁ usa el doble que P₂ y P₂ y P₃ juntos usan 4.
Pregunta 1
El restaurante de un reconocido chef atrae la atención de sus clientes por el prestigio gastronómico de sus platos elaborados siempre con productos de primera calidad. Sin embargo, el mayor atractivo para la clientela es su salsa secreta. Por ello, la gestión eficiente de esta receta y su correcto uso en los platos que conforman su oferta gastronómica es de vital importancia. La receta requiere el uso de dos ingredientes I₁ e I₂ cuyo nombre no puede desvelarse. Su mezcla será diluida posteriormente en un caldo previamente elaborado por el chef para obtener un litro de salsa. Para que la receta de la salsa secreta sea satisfactoria, es necesario que se usen a lo sumo 5 g del ingrediente I₁ y al menos 2 g del ingrediente I₂. La suma de las cantidades de ambos ingredientes debe ser al menos 6 g y la cantidad de ingrediente I₂ no puede exceder dos veces la cantidad del ingrediente I₁. Además, se sabe que los costes por cada gramo de los ingredientes I₁ e I₂ son respectivamente 20 y 30 céntimos de euro.
- a)Si x₁ y x₂ son las cantidades utilizadas de los ingredientes I₁ e I₂ respectivamente, indique cuál de las siguientes regiones representa el conjunto de valores que pueden tomar los ingredientes de acuerdo con el enunciado del problema. [Descripción textual de las tres gráficas del PDF, elaborada por ApruebaTuSelectividad; eje horizontal x₁, eje vertical x₂.] Gráfica 1: cuadrilátero sombreado de vértices (3, 3), (4, 2), (5, 2) y (5, 5); sus lados están sobre la recta que pasa por el origen y por (3, 3), la recta que pasa por (0, 6) y (6, 0), la horizontal x₂ = 2 y la vertical x₁ = 5. Gráfica 2: triángulo sombreado de vértices (5, 2), (5, 10) y el punto, cercano a (2,3; 4,7), en que se cortan la recta que pasa por el origen y por (5, 10) y la recta que pasa por (0, 7) y (5, 2); el tercer lado está sobre la vertical x₁ = 5, y la horizontal x₂ = 2 solo toca la región en (5, 2). Gráfica 3: cuadrilátero sombreado de vértices (2, 4), (4, 2), (5, 2) y (5, 10); sus lados están sobre la recta que pasa por el origen y por (5, 10), la recta que pasa por (0, 6) y (6, 0), la horizontal x₂ = 2 y la vertical x₁ = 5. (0,5 p)
- b)Obtenga las cantidades de los ingredientes en la mezcla de tal modo que minimice su coste, manteniendo las propiedades de calidad de la misma. Indique el coste de un litro de salsa elaborada. (1 p)
- c)El chef ha preparado 10 litros de salsa secreta para elaborar 3 platos diferentes P₁, P₂ y P₃ para los comensales del servicio de cena de esta noche. Para evitar el desperdicio de salsa secreta, se debe consumir la totalidad de la salsa. Además, se sabe que el plato P₁ usa exactamente el doble de cantidad de salsa secreta que el plato P₂ y que los platos P₂ y P₃ usan conjuntamente 4 litros en su preparación. ¿Es posible realizar este reparto de salsa secreta entre los tres platos? En caso afirmativo, obtenga la cantidad de salsa secreta que necesitará cada plato. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uam.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Determinación correcta de la región factible0,1
- 02a) Razonamiento correcto de la elección de la figura0,4
- 03b) Cálculo correcto de los vértices0,5
- 04b) Obtención correcta de la solución contextualizada0,5
- 05c) Definición de las variables0,1
- 06c) Planteamiento correcto del sistema de ecuaciones0,6
- 07c) Obtención correcta de la cantidad de salsa para cada plato0,3
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo se traduce cada condición?
Traduce cada frase a una inecuación: «a lo sumo» es ≤, «al menos» es ≥ y «I₂ no puede exceder dos veces I₁» es x₂ ≤ 2x₁.
Pista 2 · ¿Qué gráfica, qué mezcla y qué reparto?
Comprueba qué gráfica respeta las cuatro, evalúa el coste en sus vértices y, en c), plantea un sistema con los litros de salsa de cada plato.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Traduce el enunciado a inecuacionesTribunal: determinación correcta de la región factible0,1
Con x₁ y x₂ en gramos, cada condición es una inecuación: x₁ ≤ 5 («a lo sumo 5 g de I₁»), x₂ ≥ 2 («al menos 2 g de I₂»), x₁ + x₂ ≥ 6 («al menos 6 g en total») y x₂ ≤ 2x₁ («I₂ no excede el doble de I₁»). Las cantidades no pueden ser negativas, algo que estas restricciones ya garantizan: x₂ ≥ 2 y, de x₂ ≤ 2x₁, sale x₁ ≥ 1. La región factible son los puntos que cumplen las cuatro a la vez: a la izquierda de x₁ = 5, por encima de x₂ = 2 y de la recta x₁ + x₂ = 6, y por debajo de la recta x₂ = 2x₁.
02a · Descarta las gráficas que no cumplen el enunciadoTribunal: razonamiento correcto de la elección de la figura0,4
Mira qué rectas limitan cada región. La gráfica 1 está limitada por la recta que pasa por el origen y por (3, 3), que es x₂ = x₁: usa x₂ ≤ x₁ en lugar de x₂ ≤ 2x₁ y deja fuera, por ejemplo, el punto (2, 4), que sí cumple el enunciado. La gráfica 2 usa la recta que pasa por (0, 7) y (5, 2), es decir, x₁ + x₂ ≥ 7, y excluye el punto (4, 2), que suma 6 g y es válido. La gráfica 3 está limitada exactamente por las cuatro rectas frontera, x₁ = 5, x₂ = 2, x₁ + x₂ = 6 y x₂ = 2x₁, con la región en el lado correcto de cada una: es la correcta.
03b · Calcula los vértices de la regiónTribunal: cálculo correcto de los vértices0,5
Cada vértice es el corte de dos rectas frontera consecutivas. x₂ = 2 con x₁ + x₂ = 6 da D = (4, 2); x₂ = 2 con x₁ = 5 da A = (5, 2); x₁ = 5 con x₂ = 2x₁ da B = (5, 10); y x₂ = 2x₁ con x₁ + x₂ = 6 da 3x₁ = 6, es decir, C = (2, 4). Los cuatro cumplen todas las restricciones y coinciden con los vértices de la gráfica 3.
04b · Evalúa el coste en los vértices y contesta en contextoTribunal: obtención correcta de la solución contextualizada0,5
El coste de la mezcla, en céntimos, es f(x₁, x₂) = 20x₁ + 30x₂. En los vértices: f(A) = 20·5 + 30·2 = 160, f(B) = 100 + 300 = 400, f(C) = 40 + 120 = 160 y f(D) = 80 + 60 = 140. La región está acotada, así que el mínimo se alcanza en un vértice: D = (4, 2). No basta con dar el punto, hay que contestar en contexto: la mezcla de coste mínimo lleva 4 g de I₁ y 2 g de I₂ y, como se diluye en el caldo para obtener un litro, el litro de salsa cuesta 140 céntimos, es decir, 1,40 €.
05c · Define las variables y plantea el sistemaTribunal: definición de las variables · planteamiento correcto del sistema de ecuaciones0,7
Sean x, y, z los litros de salsa que usan P₁, P₂ y P₃; deja escrito qué representa cada letra, porque esa definición puntúa aparte. Se consume toda la salsa: x + y + z = 10. P₁ usa exactamente el doble que P₂: x = 2y, es decir, x − 2y = 0. P₂ y P₃ usan juntos 4 litros: y + z = 4.
06c · Discute el sistema y obtén el repartoTribunal: obtención correcta de la cantidad de salsa para cada plato0,3
La matriz de coeficientes, de filas (1, 1, 1), (1, −2, 0) y (0, 1, 1), tiene determinante −2 ≠ 0: rg A = rg A* = 3 y el sistema es compatible determinado, así que el reparto es posible y único. Por Cramer: x = −12/(−2) = 6, y = −6/(−2) = 3 y z = −2/(−2) = 1. También se ve directamente: restando la tercera ecuación de la primera, x = 6; entonces y = 3 y z = 1. Comprueba: 6 + 3 + 1 = 10, 6 = 2·3 y 3 + 1 = 4. P₁ necesita 6 litros, P₂ 3 litros y P₃ 1 litro.
Error típico
Leer al revés «I₂ no puede exceder dos veces I₁»
Lo que se suele escribir: x₁ ≤ 2x₂. Lo correcto: x₂ ≤ 2x₁
Leer «I₂ no puede exceder dos veces I₁» al revés, como x₁ ≤ 2x₂, o quedarse con x₂ ≤ x₁, que es la recta de la gráfica 1. La cantidad limitada es la de I₂, así que la restricción es x₂ ≤ 2x₁. Antes de elegir figura, prueba un punto que cumpla el enunciado, como (2, 4): la región correcta tiene que contenerlo.
Cuesta los puntos de «razonamiento correcto de la elección de la figura»: 0,4 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
Sigue practicando
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 8.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.